１が連続する数を１の反復数（レプユニット）という．

１＝１

１１＝１１（素数）

１１１＝３・３７

１１１１＝１１・１０１

１１１１１＝４１・２７１

１１１１１１＝３・７・１１・１３・３７

１１１１１１１＝２３９・４６４９

１１１１１１１１＝１１・７３・１０１・１３７

１１１１１１１１１＝３・３・３７・３３３６６７

１１１１１１１１１１＝１１・４１・２７１・９０９１

１１１１１１１１１１１＝２１６４９・５１３２３９

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【１】レプユニット型素数

　１０進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

の形に書くことができる．１以外の数，たとえば７がｎ個並ぶ数は７で割れるから素数ではない．１の場合だけが明らかではないのだが，

ｎ＝２：１１（素数）

ｎ＝３：３・３７

ｎ＝６：３・７・１１・１３・３７

ｎ＝９：３・３・３７・３３３６６７

ｎ＝１８：３・３・７・１１・１３・１９・３７・５２５７９・３３３６６７

　それでは，

（Ｑ）３桁以上のレプユニットはすべて素数ではないのだろうか？

（Ａ）No.

　Ｒnが素数ならば，ｎは素数でなければならないのであるが，まず，ｎが偶数の場合をみてみよう．

［１］ｎ＝４ｍ＋２の場合

　　Ｒ2＝１１（素数）

　　Ｒ6＝Ｒ2・Ｒ3・９１

　　Ｒ10＝Ｒ2・Ｒ5・９０９１

　　Ｒ14＝Ｒ2・Ｒ7・９０９０９１

　　Ｒ18＝Ｒ2・Ｒ9・９０９０９０９１

あるいは

　　Ｒ2＝１１（素数）

　　Ｒ6＝Ｒ3・１００１

　　Ｒ10＝Ｒ5・１００００１

　　Ｒ14＝Ｒ7・１００００００１

　　Ｒ18＝Ｒ9・１００００００００１

［２］ｎ＝４ｍの場合

　　Ｒ4＝１１・１０１

　　Ｒ8＝１１・１０１・１００１

　　Ｒ12＝１１・１０１・１０００１０００１

　　Ｒ16＝１１１０１・１０００１０００１０００１

［３］ｎが素数の場合

　たとえば，ｎ＝２（１１）は素数である．ｎ＝１３は５３・７９・２６５３７４６５３であるが，ｎ＝１７は２０７１７２３と５３６３２２２３５７の２つの素因数しかもっていないがこれを探すだけでも大変なことである．ｎ＝２９の場合は，３１９１・１６７６３・４３０３７・６２００３・７７８４３８３９３９７となる．

　特殊な形の素数としては

　　カレン数：ｎ・２^n＋１型素数

　　フェルマー素数：２^(2^n)＋１型素数

　　メルセンヌ素数：２^n−１型素数

などがあげられる．

　フェルマー数の因数はｋ・２^n＋１の形をしていることから，オイラーは

　　２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１・６７００４１７

と分解されることを見いだした．

　ｎ＝２，１９，２３，３１７，１０３１の場合，Ｒnは素数であることが知られている．素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はｎ＝４９０８１と８６４５３であるが，いまのところ，これ以外のレプユニット型素数は知られておらず，レプユニット型素数が無限個あるのかどうかは未解決である．

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　　［参］加藤明史「読んで楽しむ代数学」現代数学社

にはレプユニットの別の見方も掲載されていたので，紹介しておきたい．

１・９＋２＝１１

１２・９＋３＝１１１

１２３・９＋４＝１１１１

１２３４・９＋５＝１１１１１

１２３４５・９＋６＝１１１１１１

１２３４５６・９＋７＝１１１１１１１

１２３４５６７・９＋８＝１１１１１１１１

１２３４５６７８・９＋９＝１１１１１１１１１

１２３４５６７８９・９＋１０＝１１１１１１１１１１

［参］１から９までの数字を３×３マスにあてはめる３次魔方陣は回転や鏡映をのぞいてただ１種類である．１から１６までの数字を４×４マスにあてはめる４次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて８８０種類ある．１から２５までの数字を５×５マスにあてはめる５次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて２７５３０５２２４種類あることがわかっている．急速に複雑さが増していくのである．

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