【１】ピタゴラスとドレミ

　ピタゴラスは弦の長さを半分にして弾いたとき，１オクターブ高い音がでることを突き止めました．そして，１オクターブの間を振動数が整数比（に近い比）になるように分割していって，ドレミファソラシドという音階の基礎を築いたといわれています．

　弦の長さを１／２にすれば２倍の周波数，１／３だけ短くすると３／２倍の周波数（５度），１／４だけ短くすると４／３倍の周波数（４度），１／５だけ短くすると５／４倍の周波数（３度）が得られます．

　最も単純な整数比は１：２（オクターブ），次に単純な整数比は２：３（５度）もしくは１：３（４度）ですが，１：２（オクターブ）と２：３（５度）の２つだけにもとづいてドレミの周波数を決めてみましょう．ドの周波数を１とします．ドから５度上のソは（３／２），さらに５度上の高いレは（３／２）^2，１オクターブ低いレは（３／２）^2／２になります．

　すると，ミは（３／２）^4／２^2，ファは（３／２）^6／２^3，ソは（３／２），ラは（３／２）^3／２，シは（３／２）^5／２^2，高いドは（３／２）^7／２^3となって，ちょうど２にならないのでまずいことが起こります．３^n／２^mに形の数では，こうしたズレな避けられないのです．

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［補］たとえば，いくつの５度音程によってオクターブの整数倍が得られるかというと

　　（３／２）^x＝２^y　→　３^x＝２^(y-x)

この整数解はありませんが，３^5＝２４３　〜　２^8＝２５６より，ｘ＝５，ｙ＝３の近似解が存在します．すなわち，５度音程５つで３オクターブになるというわけです．また，３^5〜２^8の次に一番良い近似が３^12〜２^19で，１２の５度音程で７オクターブになります．

　同様に

　　（４／３）^5〜２^2

　　（５／４）^3＝２

４度音程５つで２オクターブ，３度音程５つで１オクターブになります．

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【２】バッハの１２平均律

　ピタゴラス音階では転調が難しいという深刻な問題がありました．この問題への対策としては，すべての半音をまったく同じ比率にしてしますことが考えられます．

　現在使われている音階はピタゴラスの音階を改良した１２平均律音階です．ピアノやオルガンのような鍵盤楽器では１オクターブの間を１２の音に分けていますが，転調のために平均律，すなわち，１オクターブの音程を対数目盛を用いて１２等分しています．

　バッハによってその基礎が作られたのですが，１２平均律音階では半音上がるごとに振動数が２^1/12倍になります．

　　ｒ＝２^1/12=1.059463094

としてf(x)＝１，ｒ，ｒ^2，・・・，ｒ^11，２＝２^xですが，ｒは無理数ですから，ピタゴラス音階のように整数比で表すことはできません．

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