【２】バッハの１２平均律

　現在使われている音階はピタゴラスの音階を改良した１２平均律音階です．ピアノやオルガンのような鍵盤楽器では１オクターブの間を１２の音に分けていますが，転調のために平均律，すなわち，１オクターブの音程を対数目盛を用いて１２等分しています．

　バッハによってその基礎が作られたのですが，１２平均律音階では半音上がるごとに振動数が２^1/12倍になります．

　　ｒ＝２^1/12=1.059463094

としてf(x)＝１，ｒ，ｒ^2，・・・，ｒ^11，２＝２^xですが，ｒは無理数ですから，ピタゴラス音階のように整数比で表すことはできません．

　ビンセンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は

　　１８／１７＝１．０５８２・・・

で近似しました．また，メルセンヌは

　　（２／（３−√３））^1/4＝１．０５９７３・・・

で近似しました．この式は平方根だけを含む式なので幾何学的に作図できる方法になっています．

　しかし，現実に楽器の設計に応用するのは難しく，カリレイの近似値より正確で，メルセンヌのものより使いやすいものが必要になりました．１７４３年，職人のシュトレーレは数学的訓練を積んでいませんでしたが，平均律関数の単純で実用的な近似式

　（２４＋１０ｘ）／（２４−７ｘ）

を与えました．

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［補］シュトレーレは数学的な訓練を受けていなかったので，彼がどのようにしてこの近似式を発見したのかは謎のままである．おそらく職人的な直観によるものと思われるが，あまり正確ではないと誤って評価されてしまった．この誤った評価は１９５７年にバーバーがその誤りを発見するまで続いた．

　　ｆ(1/2)＝Ｌ(1/2)＝√２＝１．１４１４２１

であるが，シュトレーレの近似式では

　　５８／４１＝１．４１４６３

　バーバーはシュトレーレの近似式が正確な理由を，この式が非常に正確なのは平均律関数の分数関数近似（近似理論）と√２のディオファントス近似（数論）という２つのよい近似を効率的に組み合わせているからと結論した．

　バーバーの数学的発見のおかげでシュトレーレの名誉回復がなされた．それにしてもシュトレーレはいったいどうやって近似式を思いついたのだろうか？

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