球の充填および接触数の問題は重要な未解決問題であるヒルベルトの第１８問題として取り上げられているものですが，前者は大域的なものであり，後者は局所的な問題と考えられます．そして，半径の等しい球をｎ次元ユークリッド空間Ｒ^nに効率的に詰め込む問題のなかでも３次元空間の球の充填問題は「ケプラー問題」と呼ばれるものですが，この問題は１９９８年にトマス・ヘールズによって証明されました．

　ガウスは球を規則正しく並べるという条件つきでケプラー予想が成り立つことを証明したのですが，不規則な並べ方まで含めてあらゆる場合に成り立つことはそう簡単には証明できないことでした．多くの場合，最密充填は整然とした格子によってもたらされるのですが，次元によっては最大接触数が一見ランダムな配置によって実現する場合もあるので問題は複雑なのです．たとえば１〜８次元では最大接吻数は格子上で起きるのですが，９次元では格子上での最大接吻数が２７２であるのに対して，不規則配置では３０６個の球が接触できるものが知られているのですから．→コラム「ｎ次元最密球配置」参照

　ともあれ，ヘールズの証明により「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」ことになるのですが，ランダムな配置まで含めても，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だというケプラー予想は，４００年近く経ってやっと定理に昇格したことになります．

　　［参］スピーロ「ケプラー予想」新潮社

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