球の充填および接触数の問題は重要な未解決問題であるヒルベルトの第１８問題として取り上げられているものですが，前者は大域的なものであり，後者は局所的な問題と考えられます．

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【１】ケプラーの球の詰め込み問題

　半径の等しい球をｎ次元ユークリッド空間Ｒ^nに効率的に詰め込む問題のなかでも３次元空間の球の充填問題は「ケプラー問題」と呼ばれるものですが，この問題は１９９８年にトマス・ヘールズとファーグソンによって証明されました．

　ガウスは球を規則正しく並べるという条件つきでケプラー予想が成り立つことを証明したのですが，不規則な並べ方まで含めてあらゆる場合に成り立つことはそう簡単には証明できないことでした．多くの場合，最密充填は整然とした格子によってもたらされるのですが，次元によっては最大接触数が一見ランダムな配置によって実現する場合もあるので問題は複雑なのです．

　たとえば１〜８次元では最大接吻数は格子上で起きる（たとえば，５，６，７次元ではそれぞれ４０，７２，１２６）のですが，９次元では格子上での最大接吻数が２７２であるのに対して，不規則配置では３０６個の球が接触できるものが知られているのですから，９次元以上になるとルート格子だけでは済まなくなるのです．

　格子状配置による評価は，最終的にはグラフ的算法に帰着されるのですが，

　　ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

　接吻数　２　　６　　12　　24　　40　　72　　126　 240　 272

　格子　　Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ｄ4 Ｄ5 Ｅ6 Ｅ7 Ｅ8

１≦ｎ≦８では，ガウス記号を用いて

　　下界＝ｎ（［２^(n-2)／３］＋ｎ＋１）

の形にまとめられます．（この式はｎ＞８に対しては成り立ちません．ｎ＝９のとき４６８となるのですが，コクセターの上界４０１よりも大きくなってしまうからです．）また，ｎ＝２４のとき，リーチ格子が唯一最密な球の詰め込みを与えることが証明されています（コーン，クマール：２００４年）．

　ともあれ，ヘールズとファーグソンの証明により「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」ことになるのですが，ランダムな配置まで含めても，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だというケプラー予想は，４００年近く経ってやっと定理に昇格したことになります．

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【２】球の接触数問題

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，２００３年になって，ようやくロシアの数学者ミュージンよりτ4＝２４であることが証明されています．

　５次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（Ｅ8格子，コクセター・トッド格子，２４０個）と２４次元（リーチ格子，１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，

　　τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０

の６つだけなのです．

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