【２】kissing numberの上界（球面上の最密円配置）

　球面上において，与えられた枚数の同一半径の円を互いに接するように，できるだけ密度高く配置するとき，内接する正三角形面正多面体が与えられた場合はその頂点が円の中心となるように配置すればよい（４，６，１２枚）．４次元空間内でも考え方は同じで，正四面体か正八面体を胞とする正多胞体の頂点数（５，８，２４，１２０個）と同じ個数の３次元球を４次元球面上に配置することができます．

　　　　　　　　境界多面体　　　ｐ　　　ｑ　　　ｒ

　　５胞体　　　正４面体　　　　３　　　３　　　３

　　８胞体　　　立方体　　　　　４　　　３　　　３

　　１６胞体　　正４面体　　　　３　　　３　　　４

　　２４胞体　　正８面体　　　　３　　　４　　　３

　　１２０胞体　正１２面体　　　５　　　３　　　３

　　６００胞体　正４面体　　　　３　　　３　　　５

　　　　　　（境界面ｐ，頂点に集まる面ｑ，辺に集まる胞ｒ）

　ｎ次元球のkissing numberの上界は，コクセターの方法によって粗雑ながら押さえられます．それは１球面上に大きさの等しい球帽（球面上の円，球面半径φ）を埋め込むときの最密充填の問題に帰着されるのですが，それは単体的密度限界

　　ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn

　　　　＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)

と類似の方法になっています．

　ｎ次元正単体（二面角２θ）の頂点を超球の中心において，（ｎ−１）次元球面上に射影します．球面上には（ｎ−１）次元球面正三角形ができ，その面積は

　　Σ＝２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)

で与えられます．これは正単体の１辺の球面距離２φの関数になります．

　また，σを球面正三角形の頂角の和とすると，球面上にはｎ個の点が配置され，（ｎ−２）次元球帽が（ｎ−１）次元球面を覆うことになります．そして，１つの頂角は（ｎ−１）次元正単体を（ｎ−２）次元球面上に射影したものに等しくなりますから

　　σ＝ｎ２^(-n+1)（ｎ−１）！Ｆn-1(θ)

　すなわち，上界は

　　（ｐ，３，・・・，３），θ＝π／ｐ

なる三角形面正多面体（単体的正多面体：ｎ−１次元面が単体）の頂点に（ｎ−２）次元球を配置する問題となるのですが，ここで，球面上にＮ(φ)個の点を配置した場合，不等式

　　Ｎ(φ)≦σｓn／Σ

が成り立ちますから，最終的に

　　Ｎ(φ)≦２Ｆn-1(θ)／Ｆn(θ)

　　ｓｅｃ２θ＝ｓｅｃ２φ＋ｎ−２

を得ることができます．

　kissing number（τn）に関しては，φ＝π／６の場合を考えればよいので，

　τn≦２Ｆn-1(1/2arcsecn)／Ｆn(1/2arcsecn)

となり，

　　ｎ＝２　→　２Ｆ1(π/6)／Ｆ2(π/6)＝６

　　ｎ＝３　→　２Ｆ2(1/2arcsecn3)／Ｆ3(1/2arcsecn3)＝6/(3-π/arcsec3)＝１３．３９・・・

　　ｎ＝４　→　２Ｆ3(1/2arcsecn4)／Ｆ4(1/2arcsecn4)＝5(1+1/(2-2π/arcsec4))＝２６．４４・・・

　５次元以上では，数値積分によらなければなりませんが，

　　ｆn(x)＝Ｆn(1/2arcsecx)

と書くことにすると，

　　ｆ2(x)＝arcsecx/x

　　ｆn(x)＝1/π∫(n-1,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　　　　＝ｆn(n)＋1/π∫(n,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　ｆn(x)＝ｆn-1(x)-1/3ｆn-3(x)+2/15ｆn-5(x)-17/315ｆn-7(x)+62/2835ｆn-9(x)-･･･(n:odd)

　　ｆn(x)＝1/3ｆn-2(x)-2/15ｆn-4(x)+17/315ｆn-6(x)-62/2835ｆn-8(x)+･･･(n:even)

　リーチは台形則を用いて数値積分し，

　　２ｆn-1(n)／ｆn(n)

を求めました．その結果は

　　２ｆ3(4)／ｆ4(4)=22.44･･･

　　２ｆ4(5)／ｆ5(5)=48.70･･･

　　２ｆ5(6)／ｆ6(6)=85.81･･･

　　２ｆ6(7)／ｆ7(7)=146.57･･･

　　２ｆ7(8)／ｆ8(8)=244.62･･･

以下，(9)401,(10)648,(11)1035,(12)1637,･･･と続きます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝