2000年の記事を再掲

【２】シュレーフリ関数Ｆn(θ)

　シュレーフリ関数Ｆn(θ)は

　　Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ

　　ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２

　　Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1

で再帰的に定義される関数です．

　二面角２θのｎ次元正単体を，その中心から（ｎ−１）次元単位超球面上に射影したとき，１つの胞が占める面積は，

　　ｓn＝ｎｖn＝２πｖn-2

として，

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)

で表されます．

　とくに，ｎ＝２の場合，円周上には２θの円弧が射影され，ｓ2＝２πですから，

　　Ｆ2(θ)＝２θ／π

ｎ＝３の場合，内角が２θ，２θ，２θの球面正三角形に射影され，その面積は６θ−π，また，ｓ3＝４πですから，

　　Ｆ3(θ)＝２θ／π−１／３

となります．

　シュレーフリ関数は二面角が直角の場合を基準としています．二面角が直角の１次元基本単体を外接円に射影すると，外接円は４等分（＝２^2）されます．二面角が直角の２次元単体を外接球に射影すると，外接球は８等分（＝２^3）されますから，

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π／４)＝２^(-n)ｓn

したがって，

　　Ｆn(π／４)＝１／ｎ！

　正単体の場合，θ＝π／３で，超球面は（ｎ＋１）胞により分割されますから

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π／３)＝ｓn／（ｎ＋１）

より，

　　Ｆn(π／３)＝２^n／（ｎ＋１）！

となります．

　また，相補性を考慮すると

　　２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)＋２^(-n)ｎ！ｓnＦn(π−θ)＝ｓn

すなわち

　　Ｆn(θ)＋Ｆn(π−θ)＝２^n／ｎ！

ですから，θ＝π／２を代入して

　　Ｆn(π／２)＝２^(n-1)／ｎ！

であることがわかります．

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　　Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３

それに対して，Ｆ4(θ)を解析的に求めることは難しいのですが，Ｆ4（1/2arccos(1/4)）の場合，公式

　　Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０

を用いて，

　　Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０

　また，

　　Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15

より，

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)

と計算されます．

　Ｆ4では，特殊値

　　Ｆ4（1/2arccos(1/3)）＝０

　　Ｆ4（π-1/2arccos(1/3)）＝2/3

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)

　　Ｆ4（π-1/2arccos(1/4)）＝1/3(12/5-arccos(1/4)／π)

の他にも，

　　Ｆ4（π/5）＝1/900，Ｆ4（2π/5）＝191/900，Ｆ4（3π/5）＝409/900，Ｆ4（4π/5）＝599/900

　　Ｆ4（π/4）＝1/24，Ｆ4（π/2）＝1/3，Ｆ4（3π/4）＝5/8

　　Ｆ4（π/3）＝2/15，Ｆ4（2π/3）＝8/15

が知られています．

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