2000年の記事を再掲

【１】シュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）

　シュレーフリ関数は

　　Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＸ^n／ｎ^2（ｃｏｓ２ｎｘ－ｃｏｓ２ｎｙ＋ｃｏｓ２ｎｚ－１）－ｘ^2＋ｙ^2－ｚ^2

　　Ｘ＝（Ｄ－ｓｉｎｘｓｉｎｚ）／（Ｄ＋ｓｉｎｘｓｉｎｚ）

　　Ｄ＝（ｃｏｓ^2ｘｃｏｓ^2ｚ－ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)

で定義されます．

　　Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ^2＝（π／２－ｘ）^2－π^2／１２

　　Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝－１／２ｌｏｇ（１－２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）

　　Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１－ｙ）ｔａｎｘ）－ｘ

が基本等式となり，特殊値

　　Ｓ（π／６，π／３，π／６）＝π^2／１５

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／４８

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／１４４

　　Ｓ（３π／１０，π／３，π／６）＝π^2／１８００

などが得られます．→（その５）参照

　また，

　　Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝－１／２ｌｏｇ（１－２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）

にｙ＝１を代入すると，オイラーが得た結果

　　Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝－ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）－ｌｏｇ２

　　Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１－ｙ）ｔａｎｘ）－ｘ

にｙ＝－１を代入すると，ロバチェフスキー関数，アーベル関数との関係

　　１／２Σｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝－∫(0,x)ｌｏｇ（２ｃｏｓｘ）ｄｘ－ｌｏｇ２

　　１／４ｉ｛φ(-exp(2ix))＋φ(-exp(-2ix))｝＝Ｌ(x)－ｘｌｏｇ２

が得られ，

　　Ｌ（π／２）＝π／２ｌｏｇ２

の値が求められます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝