単体的密度限界とは，稜の長さが２ｒのｎ次元正則単体の頂点に半径ｒの球を描いたときの充填密度ｄn，外接球Ｒを描いたときの単体における球の被覆密度Ｄnのことである．

　１辺の長さ√２のｎ次元正単体の体積が

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！

外接球の半径が

　　Ｒ＝√（ｎ／（ｎ＋１））

で与えられる．

　したがって，辺の長さが２の正単体の体積は

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・２^(n/2)

外接球の半径は

　　Ｒ＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(1/2)

で与えられる．一方，外接球の半径が１である正単体の１辺の長さは

　　Ｒ＝｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(1/2)

その体積は

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(n/2)

となる．

　これらのことから，

　　Ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(n/2)ｄn

の関係が成り立つことは容易に納得できるであろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】単体的密度限界の漸近挙動

　２次元の最密格子状球充填，最疎格子状球被覆では，

　　ｄ2＝Δ2π／√１２，Ｄ2＝Θ2＝２π／√２７

であるが，３次元では

　　ｄ3＞Δ3＝π／√１８，Ｄ3＜Θ3＝５√５π／２４

となっている．４次元でも

　　ｄ4＞Δ4＝π^2／１６，Ｄ4＜Θ4＝２π^2／５√５

である．

　単体的密度限界が最密球充填の上界，最疎球被覆の下界となっているのだが，高次元での漸近挙動はどのようになるのだろうか？

　ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，

　　Δ≧ζ(n)／２^(n-1)

を得た．この下界は，

　　Δ≧ｎζ(n)／｛ｅ（１−ｅ^(-n)）２^(n-1)｝

で改善されるという．

　一方，上界は

　　Δ≦ｄn≦１

により，単体的密度限界ｄnで押さえられるが，すべてのｎに対して不等式

　　ｄn＜（ｎ＋２）／２・２^(-n/2)

が成り立つことが示されている．

　ｎ→∞のときの漸近挙動としては，

　　ｄn 〜（ｎ＋１）！ｅ^(n/2-1)／√２Γ(1+n/2)（４ｎ）^(n/2)

　　　　〜ｎ／ｅ・２^(-n/2)

がある．この漸近公式によって，粗雑な（ｎ＋２）／２はｎ／ｅに改善されることになる．

　また，

　　Ｄn＝｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)ｄn

において，ｎ→∞のとき，

　　｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)→ｅ^(-1/2)２^(n/2)

より

　　Ｄn　〜　ｎ／ｅ√ｅ

となることわかる．

　なお，ｎ次元の凸体（単体を含む）による最密空間充填に対しては，

　　Σ(n,r)^2=(2n,n)

より，

　　２／(2n,n)≦Δ≦２^n／(2n,n)

すなわち，

　　2(n!)^2/(2n!)≦Δ≦2^n(n!)^2/(2n!)

となるが，その漸近挙動はスターリングの公式により，

　　下界　〜　２√（πｎ）／４^n

　　上界　〜　√（πｎ）／２^n

で与えられる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝