［１］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・＝π^2／６

であったが，

　　Ｑ＝（４・４／３・５）（６・６／５・７）（８・８／７・９）・・・（ｑ・ｑ／（ｑ−１）・（ｑ＋１））・・・＝？

　まず，Ｑ＞１は自然に浮かぶところであるが，ｎ≧２として

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^2／（ｎ^2−１）＝Πｎ／（ｎ−１）・ｎ／（ｎ＋１）

＝２／１・２／３・３／２・３／４・・・ｎ／（ｎ−１）・ｎ／（ｎ＋１）

はうまくキャンセルアウトして

　　Ｐ・Ｑ＝２／１・ｎ／（ｎ＋１）→２

　Ｐ＝π^2／６より，Ｑ＝１２／π^2

［証］ｓｉｎπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）を用います．

πｘ／ｓｉｎπｘ＝Π(1,∞)（ｎ^2／（ｎ^2−ｘ^2））

πｘ／ｓｉｎπｘ＝１／（１−ｘ^2）Π(2,∞)（ｎ^2／（ｎ^2−ｘ^2））

Π(2,∞)（ｎ^2／（ｎ^2−ｘ^2））＝πｘ（１−ｘ^2）／ｓｉｎπｘ

　ここで，ｘ→１としてときの極限を考えてみます．ロピタルの定理より

N=Π(2,∞)n^2/(n^2-1)=lim(x→1) πx(1-x^2)/sinπx →　2　となります．

　　Ｑ＝Ｎ／Ｐ

　　Ｐ＝π^2／６より，Ｑ＝１２／π^2＝１．２１７８８・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝Πｐ^4／（ｐ^4−１）＝ζ（４）＝π^4／９０

であるが，

　　Ｑ＝Πｑ^4／（ｑ^4−１）＝？

［証］ｓｉｎπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）

　　　ｓｉｎｈπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１＋ｘ^2／ｎ^2）

ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ／（πｘ）^2＝Π(1,∞)（１−ｘ^4／ｎ^4）を用います．

Π(1,∞)（ｎ^4／（ｎ^4−ｘ^4））＝（πｘ）^2／ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ

１／（１−ｘ^4）Π(2,∞)（ｎ^4／（ｎ^4−ｘ^4））＝（πｘ）^2／ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ

Π(2,∞)（ｎ^4／（ｎ^4−ｘ^4））＝（πｘ）^2（１−ｘ^4）／ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ

　ここで，ｘ→１としてときの極限を考えてみます．ロピタルの定理より

N=Π(2,∞)n^4/(n^4-1)=lim(x→1) (πx）^2(1-x^4)/sinπxsinhπx →　4π/sinh(π)＝８π／（ｅｘｐπ−ｅｘｐ（−π））　となります．

　　Ｑ＝Ｎ／Ｐ

　　Ｐ＝π^4／９０より，Ｑ＝７２０／π^3（ｅｘｐπ−ｅｘｐ（−π））＝１．００８４・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［３］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝Πｐ^6／（ｐ^6−１）＝ζ（６）＝π^6／９４５

であるが，

　　Ｑ＝Πｑ^6／（ｑ^6−１）＝？

［証］Ｓ（ｘ）＝ｓｉｎπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）

　ωを１の３乗根とする．ω^3＝１，ω^2+ω+1＝０

　Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）（１−ω^2ｘ^2／ｎ^2）（１−ω^4ｘ^2／ｎ^2）＝Π(1,∞)（（ｎ^6−ｘ^6）／ｎ^6）

Π(1,∞)（ｎ^6／（ｎ^6−ｘ^6））＝１／Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）

Π(2,∞)（ｎ^6／（ｎ^6−ｘ^6））＝（１−ｘ^6）／Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）＝（πｘ）^3（１−ｘ^6）／ｓｉｎ（πｘ）ｓｉｎ（ωπｘ）ｓｉｎ（ω^2πｘ）

　ここで，ｘ→１としてときの極限を考えてみます．ロピタルの定理より

N=Π(2,∞)n^6/(n^6-1)=lim(x→1) π^3x^3(1-x^6)/sin(πx)sin(ωπx)sin(ω^2πx)

sin(ωπ)sin(ω^2π)＝-1/2(cos(ω+ω^2)π-cos(ω-ω^2)π)

sin(ωπ)sin(ω^2π)＝-1/2(-1-cos(i√3π))

より，N=12π^2/(1+cosh(π√3))として求まります．

　　Ｑ＝Ｎ／Ｐ

　　Ｐ＝π^6／９４５より，Ｑ＝１１３４０／π^4（１＋ｃｏｓｈ（π√３））＝１．００２００１・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝