Ａ＝Π（１−１／ｎ^3）　　　ｎ＝２〜∞

　　Ｂ＝Π（１＋１／ｎ^3）　　　ｎ＝２〜∞

　　ＡＢ＝Π（１−１／ｎ^6）　　　ｎ＝２〜∞

　　Ａ／Ｂ＝Π（（ｎ^3−１）／（ｎ^3＋１）　　ｎ＝２〜∞

とする．（その１７）（その１８）において，

　　Ａ＝ｃｏｓｈ（π√３／２）／３π

　　Ｂ＝ｃｏｓｈ（π√３／２）／２π

であることを証明したが，もう少し考えてみたい．

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［１］Ｂ＝Π（１＋１／ｎ^3）　　　ｎ＝２〜∞

　βをβ^3=-1の複素解

　　β=(1+√3i)/2，β^2−β＋１＝０

とします．

　　Ｂ＝Π（ｎ＋１）（ｎ−β）（ｎ−β^2）／ｎ^3

　　Ｂ＝Π（１＋１／ｎ）・（１−β／ｎ）・（１−β^2／ｎ）

　なお，ガンマ関数には無限積表示

　　Γ（ｘ）＝∫(0,∞)t^(x-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

　　　　　　＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)　　　ｎ＝１〜∞

が知られています．

　　Γ（１）＝Π（１＋１／ｎ）（１＋１／ｎ）^(-1)＝１

　　Γ（β）＝１／βΠ（１＋１／ｎ）^β（１＋β／ｎ）^(-1)

　　Γ（β^2）＝１／β^2Π（１＋１／ｎ）^β^2（１＋β^2／ｎ）^(-1)

　　Γ（１）Γ（β）Γ（β^2）＝−Π（１＋１／ｎ）^(β＋β^2)（１＋β／ｎ）^(-1)（１＋β^2／ｎ）^(-1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］Ａ＝Π（１−１／ｎ^3）　　　ｎ＝２〜∞

　αをα^3=1の複素解

　　α=(-1+√3i)/2，α^2−α＋１＝０

とします．

　　Ａ＝Π（ｎ−１）（ｎ−α）（ｎ−α^2）／ｎ^3

　　Ａ＝Π（１−１／ｎ）・（１−α／ｎ）・（１−α^2／ｎ）

　なお，ガンマ関数には無限積表示

　　Γ（ｘ）＝∫(0,∞)t^(x-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

　　　　　　＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)　　　ｎ＝１〜∞

が知られています．

　　Γ（１）＝Π（１＋１／ｎ）（１＋１／ｎ）^(-1)＝１

　　Γ（α）＝１／αΠ（１＋１／ｎ）^α（１＋α／ｎ）^(-1)

　　Γ（α^2）＝１／α^2Π（１＋１／ｎ）^α^2（１＋α^2／ｎ）^(-1)

　　Γ（１）Γ（α）Γ（α^2）

＝Π（１＋１／ｎ）^(α+α^2)（１＋α／ｎ）^(-1)（１＋α^2／ｎ）^(-1)

＝Π（１＋１／ｎ）^(-1)（１＋α／ｎ）^(-1)（１＋α^2／ｎ）^(-1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　α＝−β^2，α^2＝−β

ですから，

　　Ａ＝Π（１−１／ｎ）・（１−α／ｎ）・（１−α^2／ｎ）

　　Ａ＝Π（１−１／ｎ）・（１＋β／ｎ）・（１＋β^2／ｎ）

　　Ｂ＝Π（１＋１／ｎ）・（１−β／ｎ）・（１−β^2／ｎ）

　　Ｂ＝Π（１＋１／ｎ）・（１＋α／ｎ）・（１＋α^2／ｎ）

　　ＡＢ＝Π（１−１／ｎ^2）・（１−α／ｎ^2）・（１−α^2／ｎ）

　　　　＝ｓｉｎ（π）／π・ｓｉｎ（πα）／πα・ｓｉｎ（πα^2）／πα^2→この式は（その１４）で証明に用いたものである．

　　Ａ／Ｂ＝Π（１−１／ｎ）／（１＋１／ｎ）・（１−α／ｎ）／（１＋α・（１−α^2／ｎ）／（１＋α^2／ｎ）

＝（１＋１／ｎ）／（１＋１／ｎ）・（１＋１／ｎ）^α／（１＋α／ｎ）（１＋１／ｎ）^α^2／（１＋α^2／ｎ）

　　１／Ｂ＝Π（１＋１／ｎ）^(-1)・（１−β／ｎ）^(-1)・（１−β^2／ｎ）^(-1)

＝Π（１＋１／ｎ）^(β^2−β)・（１−β／ｎ）^(-1)・（１−β^2／ｎ）^(-1)

　　Γ（−β）＝−１／βΠ（１＋１／ｎ）^-β（１−β／ｎ）^(-1)

　　Γ（−β^2）＝−１／β^2Π（１＋１／ｎ）^-β^2（１−β^2／ｎ）^(-1)

　　Γ（−β）Γ（−β^2）＝１／β^3Π（１＋１／ｎ）^-β-β^2（１−β／ｎ）^(-1)（１−β^2／ｎ）^(-1)

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