岩波「数学公式�U」に掲載されている

　　Ａ／Ｂ＝Π（（ｎ^3−１）／（ｎ^3＋１）＝２／３　　　ｎ＝２〜∞

を既知として援用したが，この証明がわからない．

　花本先生がこの証明を送ってくれたので紹介したい．

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S=Π(2,∞)(n^3-1)/(n^3+1)とおき、α,βをそれぞれα^3=1,β^3=-1の複素解

　　α=(-1+√3i)/2,β=(1+√3i)/2

とします。

Sn=Π(2,n)(k^3-1)/(k^3+1)= Π(2,n)(k-1)/(k+1)・Π(2,n)(k-α)/(k-β)・Π(2,n)(k-α^2)/(k-β^2)=T1T2T3とすると

T1=Π(2,n)(k-1)/(k+1)=(1/3)(2/4)(3/5)・・・(n-3)/(n-1)・(n-2)/n・(n-1)/(n+1)=2/n/(n+1)

√3i=cとおいて

T2=Π(2,n)(k-α)/(k-β)=(5-c)/(3-c)・(7-c)/(5-c)・(9-c)/(7-c)・・・・(2n+1-c)/(2n-1-c)=(2n+1-c)/(3-c)

T3=Π(2,n)(k-α^2)/(k-β^2)=(5+c)/(3+c)・(7+c)/(5+c)・(9+c)/(7+c)・・・・(2n+1+c)/(2n-1+c)=(2n+1+c)/(3+c)

∴Sn=2/n/(n+1) ・(2n+1-c)/(3-c)・ (2n+1+c)/(3+c)=2(n^2+n+1)/3/n/(n+1)

∴T=lim(n→∞)Sn=2/3

虚数を含む数列でこのような打ち消しの証明はいままで見たことがありませんので、今後も役に立ちそうです。ただこれがたまたまn=3のときしか使えないのかどうかはわかりません。　　（花本澄夫）

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