ほぼ１の数を無限にかけたら発散するだろうか．それとも収束するだろうか．

　　［参］吉田信夫「極限的数論入門」現代数学社

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【１】無限積の収束

　無限積Π（１＋ａn）は，無限級数Σ｜ａn｜が収束するならば収束する．したがって，

［１］Π（（２ｎ−１）／２ｎ）＝Π（１＋１／２ｎ）

　　　ａn＝−１／２ｎ　→　Σａn＝（収束）

　　　Π（（２ｎ−１）／２ｎ）＝０

［２］Π（１−１／２^n）

　　　ａn＝−１／２^n　→　Σ｜ａn｜＝１（収束）　

　　　Π（１−１／２^n）　→　（収束，超越数）

［３］テータ関数，｜ｑ｜＜１のとき

　　　Θ1＝Π（１＋ｑ^2n）　→　収束

　　　Θ2＝Π（１＋ｑ^2n-1）　→　収束

　　　Θ3＝Π（１−ｑ^2n-1）　→　収束

　　　Θ4＝Π（１−ｑ^2n）　→　収束

　　　Θ1Θ2Θ3Θ4＝Θ4，Θ1Θ2Θ3＝１

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【２】無限積の無限級数展開

［１］オイラー積

　　Π１／（１−１／ｐi^2）＝Σ１／ｋ^2＝π^2／６

［２］オイラーの５角数定理

　　Π（１−ｘ^n）＝Σ（−１）^k・ｘ^k(3k-1)/2

　｜ｘ｜＜１のときは収束し，極限値として一致する．たとえば，ｘ＝１／２のとき，

　　Π（１−１／２^n）＝Σ（−１）^k・（１／２）^k(3k-1)/2

＝１−１／２−（１／２）^2＋（１／２）^5＋（１／２）^7−（１／２）^12−（１／２）^15＋（１／２）^22＋（１／２）^26−・・・

＝０，２８９（１０進法）

＝０．０１００１００１１１１０１１１００００００１００００１１・・・（２進法）

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