ａ^2＋２ｂ^2＋３ｃ^2＋４ｄ^2

はすべての正の整数を表現することができる．

　　１＝（１，０，０，０）　　９＝（３，０，０，０）

　　２＝（０，１，０，０）　　10＝（１，１，１，１）

　　３＝（０，０，１，０）　　11＝（０，２，１，１）

　　４＝（０，０，０，１）　　12＝（０，０，２，０）

　　５＝（１，０，０，１）　　13＝（１，０，２，０）

　　６＝（２，１，０，０）　　14＝（０，１，２，０）

　　７＝（２，０，１，０）　　15＝（１，１，２，０）

　　８＝（０，２，０，０）　　16＝（・・・・・・・）

　この先は恐ろしくあきあきする作業になるに違いないが，１５定理はこの先を試す必要がないことを保証してくれる．

　ラマヌジャンのリストは

　　Ａａ^2＋Ｂｂ^2＋Ｃｃ^2＋Ｄｄ^2

（１，１，１，１）から（１，２，５，１０）の範囲で５４通り存在することを示している．

　（１，２，５，５）は間違いであって，

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2

は１５を除いたすべての正の整数を値にとることができる．１５は

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2

と書けない唯一の数なのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝