【１】モーデル方程式

　楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｋ　　　（ｋ：整数）

の有理点に関して，たとえば，

ｋ＝−２：無限に多くの有理点をもつ

ｋ＝１　：（０，±１），（−１，０），（２，±３）以外に有理点をもたない

ｋ＝−５：決して有理点をもたない

　整数点に関して，モーデルは２元３次形式の簡約理論とトゥエの定理から整数点は有限個しか存在しないことを証明した．

ｋ＝−２８：すべての整数解は（４，±６），（８，±２２），（３７，±２５５）

ｋ＝１１　：整数解をもたない

ｋ＝−１１：すべての整数解は（３，±４），（１５，±５８）

　モーデルは，この結果を

　　ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

に拡張した．右辺の３次式は異なる零点をもつことから，３次式よりは４次式の簡約に依拠する必要があった．

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