ｘ座標もｙ座標も整数である点を整数点，座標ｘ，ｙがともに有理数であるような点を有理点といいます．指数曲線：ｙ＝ｅｘｐ（ｘ）は座標（０，１）を通りますが，点（０，１）がこの滑らかな曲線上の唯一の整数点・有理点であって，それ以外のどの有理点にもぶつからないのは驚くべきことです．同様に，ｘが０以外の有理数のとき，ｙ＝ｔａｎｘは有理数の値をとることはできません．

　ところで，楕円曲線：ｙ^2 ＝ｘ^3 ＋１には無限に多くの整数点があるでしょうか，あるいは一つでも整数点はあるでしょうか．実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．また，ｙ^2 ＝ｘ^3 −２は（３，±５）以外の整数点をもちませんが，無数に有理点が得られます．

　一般に，ｙ^2 ＝ｘ^3 −ａには有限個の整数解しかないのですが，たとえば，ａ＝−７に対しては１つも整数解がありません．また，ａ≠−１，４３２ならば曲線上には無限個の有理点があることがわかっています．　少し挑戦してみると分かるのですが、これらを証明するのはほとんど不可能に見えるほど難しい問題です。楕円曲線上に有理点が無限個のっていたり、有限個であったり、あるい全くなかったりすることは図をいくらにらんでもわからない問題ですが、ここではこれ以上は追求しないでおきましょう。

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【補】楕円曲線とフェルマーの定理

　ワイエルシュトラス形式の特異点は有理点であり，曲線上に特異点があれば，適当なパラメータｍによりｘ，ｙはｍの多項式として表されます．そして，ｘとｙがｍの有理式として表されるとき，有理曲線となり，２次曲線とよく似た性質をもちます．

　一方，特異点がなければ，楕円曲線と呼ばれる非有理曲線で２次曲線とは本質的に異なってきます．２次曲線はすべて有理曲線ですが，３次曲線が異なる３根をもつ有理係数の多項式の場合は，有理勾配の方法によるパラメトライズは有効には働きません．すなわち，楕円曲線は有理曲線でないため有理関数で表わすことはできませんが，楕円関数でパラメトライズすることは可能です．

　ところで，フェルマーの最終定理『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない．』を解くことは，２変数ｎ次多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^n＋ｙ^n−１＝０に，有理数解があるか，すなわち有理点をもつかどうかを考える問題に対応します．

　１９７０年代，フェルマーの問題を征するために必要となるのが楕円曲線であることが明らかになりました．楕円曲線には，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています．

　ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）

が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，これ以上はかなりこみいった話になるので追求しないでおきましょう．（楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示すのである．）

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【６】フェルマー方程式（２元ｎ次形式）

　フェルマー方程式：

　　ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n　　　（ｎ≧３）

が整数解をもたないことについては，フェルマー（ｎ＝４），オイラー（ｎ＝３，１７７０年），ルジャンドルとディリクレ（ｎ＝５，１８２５年），ラメ（ｎ＝７，１８３９年），クンマー（正則素数），ソフィー・ジェルマン（ソフィー・ジェルマン素数，１８２３年），ヴィーフェリッヒ（２^(p-1)＝１　(mod p^2)を満たさない素数，１９０９年）などの証明があります．

　モーデル・ファルティングスの定理（１９８３年）とは，「種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない．」というものです．これはｎ≧４に対し，フェルマー方程式ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nの整数解は有限個しか存在しないという定理を特別な場合として含んでいます．

　２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．

　また，リーマン・フルヴィッツの公式よりフェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．

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