【３】ヴィーフェリッヒの定理（１９０９年）

　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である」

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Wieferich判定基準

　すなわち，２^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものです．フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となりますが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがあり，そのときｐをヴィーフェリッヒ素数といます．

　ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．２つのヴィーフェリッヒ素数−１を２進数に変換すると

　　１０９２＝１０００１０００１００

　　３５１０＝１１０１１０１１０１１０

のように奇妙なパターンがみられるのだそうです．

　なお，１９１０年，ミリマノフは

　「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはミリマノフ素数であることが必要である」をつけ加えています．

　　（３^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

　すなわち，３^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものですが，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られています．また，５^(p-1)−１がｐ^2で割り切れるｐとしてはｐ＝１８８７４８１４６８０１が知られています．

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【４】ミハイレスクの定理（２００２年）

　オイラー以後，カタラン予想の一般的な証明は多くの数学者たちの挑戦を退けてきたのですが，２００２年，ルーマニアの数学者，ミハイレスクがすべてを解決しました．

　ミハイレスクは

　「カタラン方程式ｘ^p−ｙ^q＝１が非自明解をもつためには（ｐ，ｑ）がヴィーフェリッヒ対でなければならない」

すなわち，３^2−２^3＝１以外の解が存在するならば，ｐ，ｑはどちらもヴィーフェリッヒ素数の２倍，したがって，ｐ^(q-1)をｑ^2で割ると余りが１，ｑ^(p-1)をｐ^2で割ると余りが１にならなければならないことを証明しました．

　（ｐ，ｑ）がヴィーフェリッヒ対でなければならないこと，そして，ミハイレスクはクンマーがフェルマー予想の証明の試みの中での発展させた「円分体の理論」を利用して，１のｎ次複素根を使った巧みな証明によって，１５８年間進展の見られなかったこの問題の最後の穴をふさぐことができたのです．

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【５】カタラン予想の一般化

　かくしてカタラン予想はミハイリスク定理となって，数学界を仰天させたのですが，ワイルスがフェルマー予想を証明したときのほどの興奮はなく解かれました．しかしまだ終わりではありません．

　カタラン予想をガウス整数を使って一般化すると

　　ｘ^p−ｙ^q＝±１，±ｉ

なる複素数ａ＋ｂｉが存在するかどうかという問題になります．

　現在のところ，

　　（７８＋７８ｉ）^2−（−２３ｉ）^3＝ｉ

以外の解があるかどうかについてはわかっていないそうです．

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