【１】ｙ^2＝ｘ^3−ａの整数解

［定理］ａは平方因子をもたない，

　　ａ≠７　　（ｍｏｄ８）

　　虚２次体Ｑ（√−ａ）の類数は３で割れないとき，ｙ^2＝ｘ^3−ａが整数解をもつのは，任意の整数ｕとｅ＝±１に対して，

［１］ａ＝３ｕ^2＋ｅ，（ｘ，ｙ）＝（３ｕ^2＋ｅ，ｕ（８ｕ^2＋３ｅ））

［２］ａ＝３ｕ^2＋８ｅ，（ｘ，ｙ）＝（３ｕ^2＋２ｅ，ｕ（ｕ^2＋３ｅ））

のいずれかの場合に限る．

［例］ａ＝１１，ｕ＝２，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（３，±４）

　　　ａ＝１１，ｕ＝１，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（１５，±６４）

　ａ＝１，ｕ＝０，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（１，０）に限る．

　ａ＝２，ｕ＝０，ｅ＝−１→（ｘ，ｙ）＝（３，±５）に限る．

　ａ＝３，どのような整数ｕをとっても３＝３ｕ^2±１，３＝３ｕ^2±８とはならない→整数解をもたない．

［注］ａ＝７（ｍｏｄ８）のときは［１］［２］以外の解があり得る．たとえば

　ａ＝１５→（ｘ，ｙ）＝（４，７）

　ａ＝２３→（ｘ，ｙ）＝（３，２）

　ａ＝２，ｕ＝０，ｅ＝−１→（ｘ，ｙ）＝（３，±５）に限る．

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【５】モーデル方程式（２元３次形式）

　楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｋ　　　（ｋ：整数）の有理点に関して，たとえば，

ｋ＝−２：無限に多くの有理点をもつ

ｋ＝１　：（０，±１），（−１，０），（２，±３）以外に有理点をもたない

ｋ＝−５：決して有理点をもたない

　整数点に関して，モーデルは２元３次形式の簡約理論とトゥエの定理から整数点は有限個しか存在しないことを証明しました．

ｋ＝−２８：すべての整数解は（４，±６），（８，±２２），（３７，±２５５）

ｋ＝１１　：整数解をもたない

ｋ＝−１１：すべての整数解は（３，±４），（１５，±５８）

　モーデルは，この結果を

　　ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

に拡張したのですが，右辺の３次式は異なる零点をもつことから，３次式よりは４次式の簡約に依拠する必要があったようです．

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　ジーゲルは任意の整数係数多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０が，整数解を有限個しかもたないための簡単な条件を与えることに成功しました．ジーゲルはｆ（ｘ，ｙ）＝０のよって表される曲線が種数１をもつならば，その条件は十分であることを証明したのですが，その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています．

　この定理により，

　「三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかない．」

これですべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが，少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります．

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