［１］三角数ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四角数ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

［３］五角数ｎ（３ｎ−１）／２

［４］六角数ｎ（４ｎ−２）／２

［５］七角数ｎ（５ｎ−３）／２

［６］八角数ｎ（６ｎ−４）／２

［１］１，３，６，１０，１５，２１，２８，・・・

［２］１，４，９，１６，２５，３６，４９，・・・

［３］１，５，１２，２２，３５，５１，７９，・・・

［４］１，６，１５，２８，４５，６６，９１，・・・

［５］１，７，１８，３４，５５，８１，１１２，・・・

［６］１，８，２１，４０，６５，９６，１３３，・・・

　上の表を縦に見ると等差数列になっていて，公差は三角数である．横方向の階差をとってみると，三角数では自然数，四角数では奇数，五角数では４，７，１０，１３，・・・（公差３の等差数列），六角数では５，９，１３，１７，・・・（公差４の等差数列））になっている．

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【１】五角数と三角数

　五角数１，５，１２，２２，３５，・・・，Ｐn＝ｎ（３ｎ−１）／２については，五角数の和が

　　ΣＰk＝ｎ^2（ｎ＋１）／２

となること，三角数との関係では

　　Ｐn＝Ｔ2n-1−Ｔn-1，Ｐn＝Ｔ3n-1／３

となることは高校生でも計算できるだろう．

　五角数に限らず，ｍ角数を図形的に考えてみると，ｍ角形にｎ−１番目の三角数Ｔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２個の点からなる三角形を追加して作ることができるから

　　ｎ＋（ｍ−２）Ｔn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

と考えることができる．したがって，三角数との関係は五角数に特別のものではない．

　ｍ＝５とおくと，

　　Ｐn＝１／２・ｎ・｛２＋３（ｎ−１）｝＝ｎ（３ｎ−１）／２

　　Ｔ2n-1−Ｔn-1＝２ｎ（２ｎ−１）／２−ｎ（ｎ−１）／２＝Ｐn

　　Ｔ3n-1／３＝３ｎ（３ｎ−１）／６＝Ｐn

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【２】六角数と三角数

　ｍ＝６とおくと，

　　Ｈn＝１／２・ｎ・｛２＋４（ｎ−１）｝＝ｎ（４ｎ−２）／２＝２ｎ^2−ｎ

　三角数の３番目が六角数の２番目，三角数の５番目が六角数の３番目，三角数の７番目が六角数の４番目であること，すなわち，六角数は三角数をひとつ置きにとったものであることを示している．それと同時に３角数であり６角数であるものは無限に存在することもわかるだろう．完全数は六角数であるから，三角数でもあるといえる．

　　Ｈn＝Ｔ2n-1＝ｎ（２ｎ−１）

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［３］１，５，１２，２２，３５，５１，７９，・・・

［４］１，６，１５，２８，４５，６６，９１，・・・

　　Ｔ2n-1−Ｔn-1＝２ｎ（２ｎ−１）／２−ｎ（ｎ−１）／２＝Ｐn

　　Ｈn＝Ｔ2n-1＝ｎ（２ｎ−１）

　　Ｈn−Ｐn＝Ｔn-1　（公差Ｔn-1）

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