［１］３角数であり平方数であるものは無限に存在します．

（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn−ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１−√２）^n＝（−１）^n

また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2−２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn−１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

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　自然数ａn，ｂnを（１＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３によって定義すると，

　　ａn^2−３ｂn^2＝（ａn＋ｂn√３）（ａn−ｂn√３）

　　　　　　　　　＝（１＋√３）^n（１−√３）^n＝（−２）^n

また，（１＋√３）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（３の倍数），ｂn＝ｎ＋（３の倍数）

よって，ｎを３の倍数にとるとａn^2−３ｂn^2＝？？？となって，右辺が定まらない．

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［まとめ］この原因は

　　Ｚ（√２）＝｛±（１＋√２）^n｝

が精密に成り立つのに対して，

　　Ｚ（√３）＝｛±（２＋√３）^n｝

となるためである．

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