［１］三角数ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四角数ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

［３］五角数ｎ^2＝ｎ（３ｎ−１）／２

［４］六角数ｎ（４ｎ−２）／２

［５］七角数ｎ（５ｎ−３）／２

［６］八角数ｎ（６ｎ−４）／２

［１］１，３，６，１０，１５，２１，２８，・・・

［２］１，４，９，１６，２５，３６，４９，・・・

［３］１，５，１２，２２，３５，５１，７９，・・・

［４］１，６，１５，２８，４５，６６，９１，・・・

［５］１，７，１８，３４，５５，８１，１１２，・・・

［６］１，８，２１，４０，６５，９６，１３３，・・・

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　　ｙ（ｙ−１）／２＝（２ｘ^2−ｘ），すなわち，

　　（ｙ−１／２）^2−１／４＝４（ｘ−１／４）^2−１／４

　　（４ｙ−２）^2−１６＝４（４ｘ−１）^2−１６

　　（４ｙ−２）^2−４（４ｘ−１）^2＝０

　　（２ｙ−１）^2−（４ｘ−１）^2＝０，ｙ＝２ｘ

は三角数の３番目が六角数の２番目，三角数の５番目が六角数の３番目，三角数の７番目が六角数の４番目であること，すなわち，六角数は三角数をひとつ置きにとったものであることを示している．それと同時に３角数であり６角数であるものは無限に存在することもわかるだろう．

　また，上の表と縦に見ると等差数列になっていて，公差は三角数である．横方向の階差をとってみると，三角数では自然数，四角数では奇数，五角数では４，７，１０，１３，・・・（公差３の等差数列），六角数では５，９，１３，１７，・・・（公差４の等差数列））になっている．

　さらに，正方形の形に四数を選び，斜め同士をかけてその差をとる．たとえば

　　１２・２８−２２・１５＝６

　　１８・４０−３４・２１＝６

となって，三角数になる．パスカルの三角形におけるダビデの星定理に相当するものであろう．

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