（その１６）の問題

［Ｑ］３角数であり６角数であるものは無限に存在するか？

は，六角数は三角数をひとつ置きにとったものであることを示している．

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（証明）ｙ（ｙ−１）／２＝（２ｘ^2−ｘ），すなわち，

　　（ｙ−１／２）^2−１／４＝４（ｘ−１／４）^2−１／４

　　（４ｙ−２）^2−１６＝４（４ｘ−１）^2−１６

　　（４ｙ−２）^2−４（４ｘ−１）^2＝０

　　（２ｙ−１）^2−（４ｘ−１）^2＝０

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√４）^n＝ａn＋ｂn√４によって定義すると，

　　ａn^2−４ｂn^2＝（ａn＋ｂn√４）（ａn−ｂn√４）

　　　　　　　　　＝（１＋√４）^n（１−√４）^n＝（−３）^n

また，（１＋√４）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（４の倍数），ｂn＝ｎ＋（４の倍数）

よって，ｎを４の倍数にとるとａn^2−３ｂn^2＝？？？となって，右辺が定まらない．

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