［１］３角数であり５角数であるものは？

［２］３角数であり６角数であるものは？

［３］３角数かつ５角数かつ６角数であるものは？

おそらく無限に存在すると思われる．（その１５）に倣って調べてみよう．

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［１］３角数であり５角数であるものは無限に存在するか？

（証明）ｙ（ｙ−１）／２＝（３ｘ^2−ｘ）／２，すなわち，

　　（ｙ−１／２）^2−１／４＝３（ｘ−１／６）^2−１／１２

　　（６ｙ−３）^2−９＝３（６ｘ−１）^2−３

　　（６ｙ−３）^2−３（６ｘ−１）^2＝６

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　右辺を１にするためには，

　　｛（６ｙ−３）／√６｝^2−３｛（６ｘ−１）／√６｝^2＝１

にしなければならないが，

　　（６ｙ−３）^2−３（６ｘ−１）^2＝６

のまま続行してみる・・・

　自然数ａn，ｂnを（１＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３によって定義すると，

　　ａn^2−３ｂn^2＝（ａn＋ｂn√３）（ａn−ｂn√３）

　　　　　　　　　＝（１＋√３）^n（１−√３）^n＝（−２）^n

また，（１＋√３）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（３の倍数），ｂn＝ｎ＋（３の倍数）

よって，ｎを３の倍数にとるとａn^2−３ｂn^2＝？？？となって，右辺が定まらない．

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［２］３角数であり６角数であるものは無限に存在するか？

（証明）ｙ（ｙ−１）／２＝（２ｘ^2−ｘ），すなわち，

　　（ｙ−１／２）^2−１／４＝４（ｘ−１／４）^2−１／４

　　（４ｙ−２）^2−１６＝４（４ｘ−１）^2−１６

　　（４ｙ−２）^2−４（６ｘ−１）^2＝０

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√４）^n＝ａn＋ｂn√４によって定義すると，

　　ａn^2−４ｂn^2＝（ａn＋ｂn√４）（ａn−ｂn√４）

　　　　　　　　　＝（１＋√４）^n（１−√４）^n＝（−３）^n

また，（１＋√４）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（４の倍数），ｂn＝ｎ＋（４の倍数）

よって，ｎを４の倍数にとるとａn^2−３ｂn^2＝？？？となって，右辺が定まらない．６角数は３角数であるからである

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