【１】４平方和定理（オイラー・ラグランジュの定理）

　任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破しました．その証明中で用いられる基本公式が

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

で，１７４８年にオイラーによって証明されています．

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【２】ｍ角数和定理

　すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる．

　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます．すなわち，三角数とはｎ（ｎ＋１）／２，四角数とはｎ2 の形の自然数，すなわち平方数です．

　ガウスは１７９６年の日記に「わかった！　ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味で，ｍ＝３の場合についての証明に相当します．ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いるとｎ＝△＋△＋△を簡単に示すことができます．

（証明）

４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｏ＋１，ｙ＝２ｐ＋１，ｚ＝２ｑ＋１とおくとｎ＝ｏ（ｏ＋１）／２＋ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２

　この定理で，ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．

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【３】３平方和定理

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

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