（その７）を，さらに，高次元化して

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s＝ｍ^s

の解について考察してみてもおもしろいかと思われます．

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　ベルヌーイ数Ｂn が

　　Σ１／ｎ^s＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・

の計算に重要な役割を果たしていることは以前にも述べましたが，ベルヌーイ数は元来，ベキ和

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

を求めるために考案されたものです．この和の中にｓ乗数はあるでしょうか．

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

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ですから，左辺は，ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができます．Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）ですが，Σｋ^sはＢnを含む一般式の形で表すことができます．もっと知りたい人のためには，クヌースらによる「コンピュータの数学」共立出版刊をお勧めします．

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　不定方程式

　　Σｋ^p＝１^p＋２^p＋３^p＋・・・＋ｎ^p＝ｍ^q

は（ｐ，ｑ）＝（３，２）のときすべてのｎについて，（ｐ，ｑ）＝（１，２），（３，４），（５，２）のとき無限に整数解をもちますが，当該の不定方程式では，ｓ≧３の場合，ｘ＝ｙ＝１以外に解はないものと予想されています．すなわち，十分条件はおろか充填のための必要条件すら満足しません．有理数解ならば簡単に与えられる問題であっても整数解に限ると格段にむずかしい深遠な問題に昇華するのです．

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