辺が相続く整数列１，２，３，４，５，・・・の大きさの異なる正方形による正方形充填問題について考えてみることにします．

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　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2

＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６

＝７０^2

　級数の公式：Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．

　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．

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　上記の問題を立方体に拡張することははるかに難しくなりますが，次に，たくさんの小立方体を立方体に詰め込む問題について考察してみましょう．最初のｎ個の立方数の和は平方数になります

　　Σｋ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

　フィボナッチはこれを次のように証明しました．

１^3＝１，２^3＝３＋５，３^3＝７＋９＋１１，４^3＝１３＋１５＋１７＋１９，５^3＝２１＋２３＋２５＋２７＋２９，・・・

また，最初のｎ個の奇数の和は１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2，最初のｎ項までに現れる奇数の全項数は１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

よって，

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

が示されます．三角数とはｍ（ｍ＋１）／２の型の自然数のことと定義すると，任意の立方数は２つの三角数の平方数の差と表されることがわかります．すなわち，ｙ^3＝｛ｙ（ｙ＋１）／２｝^2−｛ｙ（ｙ−１）／２｝^2がこの証明の根拠となっていることが理解されます．

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　１^3＋２^3＋３^3＋・・・は完全平方数ですが，はたして，この数は立方数になりうるでしょうか．

１^3＋２^3＋３^3＋・・・＝１（１^2）＋２（２^2）＋３（３^2）＋・・・

より，この関連問題は，ある１つの正方形を１辺１の正方形１個，１辺２の正方形２個，１辺３の正方形３個，以下同様・・・，によって充填する問題といい換えてもよいのですが・・・．

　また，１からはじめなくてもよければ，

　　３^2＋４^2＝５^2 ，１８^2＋１９^2＋・・・＋２８^2＝７７^2 ，

　　３^3＋４^3＋５^3＝６^3，１１^3＋１２^3＋１３^3＋１４^3＝２０^3

など連続した平方（立方）数の和が平方（立方）数となることはあるのですが，ｙ^3＝｛ｘ（ｘ＋１）／２｝^ にｘ＝１，ｙ＝１以外の自明でない整数解はあるのでしょうか？

　Ｐ＝ｘ（ｘ＋１）／２が立方数Ｐ＝Ｑ^3であれば

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝Ｐ^2＝Ｑ^3

なのですが，実は，ｘ＝１を除きｘ（ｘ＋１）／２は立方数にはならないことが示されます．

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