【１】フェルマーの構成法

　　２^nａｂと２^nｃは親和数のペアである．

　　　ａ＝３・２^n−１（素数）

　　　ｂ＝３・２^n-1−１（素数）

　　　ｃ＝９・２^2n-1−１（素数）

　ｐ＝ｂ＝３・２^n-1−１とおくと

　　ｑ＝２ｐ＋１＝３・２^n−１＝ａ

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ＝９・２^n-1−３・２^n−３・２^n-1＋１＋３・２^n-1−１＋３・２^n−１＝９・２^2n-1−１＝ｃ

であるから，これはイブン・クッラの公式と同じものである．

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【２】イブン・クッラの公式

　　ｐ＝３・２^n-1−１

　　ｑ＝２ｐ＋１

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ

がすべて素数ならば，Ｍ＝２^nｐｑ，Ｎ＝２^nｒのペアは親和数になる．

　　ｎ＝２→（２２０，２８４）

　　ｎ＝４→（１７２９６，１８４１６）　　　（フェルマー）

　　ｎ＝７→（９３６３５８４，９４３７０５６）　　　（デカルト）

なお，この公式で小さい方は四面体数

　　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６

になる．

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［証］

　　ｐｑ＜ｐｑ＋ｐ＋ｑ

　　ｐｑ＝ｐ（２ｐ＋１）＝（３・２^n-1−１）（３・２^n−１）

＝（３・２^n-1−１）（６・２^n-1−１）＝１８・２^2n-2−９・２^n-1＋１

　　Ｎ＝２^nｐｑ＝１８・２^3n-2−９・２^2n-1＋２^n

＝９／２・２^3n−９／２・２^2n＋２^n＝ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）／６

　ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）＝２７・２^3n−２７・２^2n＋６・２^n

　ｍ＝３・２^n

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