たとえば，７を平方数の和として表すには

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　15＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

のように４つの平方数が必要になる．

　ラグランジュの４平方和定理によれば，すべての正の整数ｎは４つの平方和として表すことができる．

　　ｎ＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2

　ルジャンドルは　

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｍｄ^2　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

がすべての正の整数を表現することができることを示した．

　ラマヌヌジャンはすべての正の整数を表現することができる

　　Ａａ^2＋Ｂｂ^2＋Ｃｃ^2＋Ｄｄ^2

（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）の全リストを示した．

　　ａ^2＋２ｂ^2＋３ｃ^2＋４ｄ^2

もすべての正の整数を表現することができる．しかし，ラマヌジャンのリストにない，たとえば

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2

は１５を除いたすべての正の整数を値にとることができる．

　ラグランジュの４平方和定理を一般化する試みとして，そのｎ平方和版が１５定理である．さらに，行列の成分がすべて整数になるという条件を弱めて，２次形式の係数がすべて整数になると条件に変えたものが２９０定理である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝