ベキ和の公式

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４＝（Σｋ）^2

とりわけ，自然数和

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

は，ガウス幼少時のエピソードなどでとりわけ有名です．

　　１＋２＋３＋・・・＋１００＝５０５０

　それでは，次のフィボナッチ級数は？

　　１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１＝？

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　フィボナッチ数列の各項はパスカルの三角形の対角線上の数の和に一致しています．この他にもフィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．

Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n

Ｆ1 ＋Ｆ2 ＋Ｆ3 ＋・・・＋Ｆn ＝Ｆn+2 −１

Ｆ1 ＋Ｆ3 ＋Ｆ5 ＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

Ｆ2 ＋Ｆ4 ＋Ｆ6 ＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn ・Ｆn+1

　　１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１

＝Ｆ1＋Ｆ2＋Ｆ3＋Ｆ4＋Ｆ5＋Ｆ6＋Ｆ7＋Ｆ8＝Ｆ10−１＝５５−１＝５４

　もし，Ｆ10＝５５を知っていれば，即座に５４と答えられるというわけです．

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　　１・２・３・４・５＝５！＝１２０

それでは

　　３・５・１７・２５７＝？

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　フェルマー数は簡単な漸化式Ｆn ＝（Ｆn-1 −１）^2＋１を満たしています．この式から

　　Ｆn −２＝Ｆn-1 （Ｆn-1 −２）＝・・・＝Ｆ0 Ｆ1 ・・・Ｆn-1

言い換えれば，Ｆn −２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．

　　３・５・１７・２５７

＝Ｆ0 Ｆ1 Ｆ2Ｆ3＝Ｆ4−２＝６５５３５

＝Ｆ3（Ｆ3−２）＝（Ｆ3−１）^2−１

　もし，Ｆ4＝６５５３７を知っていれば，即座に６５５３５と答えられるというわけです．

　　３・５・１７・２５７・６５５３７

＝Ｆ0 Ｆ1 Ｆ2Ｆ3Ｆ4＝Ｆ5−２＝４２９４９６７２９５

＝Ｆ4（Ｆ4−２）＝（Ｆ4−１）^2−１

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