■19四乗数定理(その43)

1770年、ウェアリングはすべての正の整数は

高々4個の平方数の和として、

高々9個の3乗数の和として、

高々19個の4乗方数の和として、

高々g(k)個のk乗方数の和として、

表されると予想した。

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まもなく、ラグランジュはg(2)=4であることを証明した(1770年)。

ヨハン・アルブレヒト・オイラーは

  g(k)≧2^k+[(3/2)^k]-2

を示し、実際は等号が成り立つだろうと予想した(1772年)。

ヒルベルトはg(k)<∞であることを証明した(1909年)。その後、

g(3)=9  (1909年)

g(4)=19  (1986年)

g(5)=37  (1964年)

g(6)=73  (1940年)

であることが証明されている。

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一方、kに対してほとんどの整数がg(k)より少ない個数のk乗数の和として表されることが分かっている。

G(3)≦7であることはわかっているが、G(3)の値はまだ確定していない。

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