【１】シェルピンスキー数

　巨大な素数を探したいとき，ｑ＝２^kｐ＋１（ｋ≧０）という形の数を考えることが多い．あるきまったｐを選んで，ｋを変えていくのである．

［１］ｐ＝１→ｋ＝２，４，８のとき素数になる

［２］ｐ＝３→ｋ＝１，２，５，６，８，１２のとき素数になる

［３］ｐ＝５→ｋ＝１，３，７のとき素数になる

　ほとんどのｐに対して，素数は少なくとも１個は存在する．どんなｐに対してもｑ＝２^kｐ＋１という形の素数が１つ以上存在すると予想したくなるのであるが，１９６０年，シェルピンスキーはｑ＝２^kｐ＋１がすべて合成数となるようなｐが無限個存在することを証明した．そのようなｐはシェルピンスキー数と呼ばれている．

　１９６２年，セルフリッジは７８５５７がその具体例であることを示した．また，ｐ＝７８５５７のとき，ｑ＝２^kｐ＋１（ｋ≧０）の形をしたすべての数が３，５，７，１３，１９，３７，７３のいずれかの数で割り切れることを証明した．このような除数はcovering setと呼ばれる．

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　知られているシェルピンスキー数の小さい方の１０個は

７８５５７，２７１１２９，２７１５７７，３２２５２３，３２７７３９

４８２７１９，５７５０４１，６０３７１３，９０３９８３，９３４９０９

であって，７８５５７は最小のシェルピンスキー数と考えられているが，未だ証明も反証もされていない．

　いまでは最小のシェルピンスキー数の候補が６個

１０２２３，２１１８１，２２６９９，２４７３７，５５４５９，６７６０７

しか残っていないが，その証明・反証過程で巨大素数がいくつも見つかっている．

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