■ソフィー・ジェルマン素数(その21)

 xが素数で,2x+1がまた素数となる数xをソフィー・ジェルマン素数という.89はソフィー・ジェルマン素数であるがら,2倍して1を足した数179も素数である.

  2・89+1=179

 面白いことにこの数を2倍して1を足した数359も素数である.したがって,179もソフィー・ジェルマン素数である.

  2・179+1=359

 さらに,この数を2倍して1を足した数719も素数であり,以下同様に6個の素数列ができあがる.89(素数)→  

  2・89+1=179     (素数)

  2・179+1=359    (素数)

  2・359+1=719    (素数)

  2・719+1=1439   (素数)

  2・1439+1=2879  (素数)

  2・2879+1=5759  (非素数)

 このような素数列をカニンガムの鎖とよぶ.素数等差数列に対して「概等比数列」である.

 1122659→2245319→4490639→8981279→17962559→35925119→71850239

は7個の素数からなるカニンガムの鎖である.

 810.433,818,265,726,529,159から始まるカニンガムの鎖は16個の素数からなる.

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 素数pの多くが2p+1も素数になるという性質を持っている.

  5→11→23→47

 p≠2のとき,3p+1は素数でないから,ここでは(p,2p+1,4p+1)がいずれも素数となるpを超ソフィー・ジェルマン素数と呼ぶことにしよう.

p   2p+1    4p+1

2   5(素数)   9(合成数)

3   7(素数)   13(素数)*

5   11(素数)   21(合成数)

7   15(合成数)  29(素数)

11   23(素数)   45(合成数)

13   27(合成数)  53(素数)

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 p=3は超ソフィー・ジェルマン素数であるが,

[1]p=3k+1のとき

  2p+1=6k+3(合成数)

  4p+1=12k+5(?)

[2]p=3k+2のとき

  2p+1=6k+5(?)

  4p+1=12k+9(合成数)

 したがって,この条件を満たすのはp=3のみである.

[参]河田直樹「整数と群・環・体」現代数学社

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