【１】ヒルベルトの定理

　フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により，

　　ａ1^n＋ａ2^n＋・・・＋ａn^n−ｎａ1ａ2・・・ａn

を各項が非負値の和として表すことができることがわかっているが，特に２ｎ次のとき，

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n

　　　＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2

　　　＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2

　　　＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2

より，

　　Ｆ＝ΣＰi^2

を示すことができる．

　この定理は，

　　a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd

　　a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6-6abcdef

が多項式の平方の和となることを保証するものである．たとえば，

　　ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ

　＝（ｘ^2−ｙ^2）^2＋（ｚ^2−ｗ^2）^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2

は３個の多項式の平方の和である．

　また，

　　ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−６ｘｙｚｕｖｗ

　＝１／２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋１／２（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

は１９個の多項式の平方の和である．

　　a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd

　=P1(a-b)^2+P2(a-c)^2+P3(a-d)^2+P4(b-c)^2+P5(b-d)^2+P6(c-d)^2

であることは保証してないのであるが，abcdの項が出現するためには(ab-cd)または(ac-bd)の平方の項が出現しなければないのだろうか？

　ところで，この定理では，２ｎ変数の２ｎ次正定値形式

　　Ｆ＝ｎ｛Ａ（ａ^2n）−Ｇ（ａ^2n）｝

がいくつかの多項式Ｐiを用いて

　　Ｆ＝ΣＰi^2

と表されることをみたが，それでは２ｎ変数の２ｎ次正定値形式Ｆはすべてこのように表されるのだろうか？

　すなわち，次なる問題はどのようなＦがいくつかの多項式Ｐiを用いて

>　　Ｆ＝ΣＰi^2

と表されるかという問題である．

　この問題はヒルベルトによって完全に解決されていて，Ｆの次数を２ｎとし，変数の数をｍとした場合，

　　(1)ｍ＝２，ｎは任意

　　(2)ｍは任意，２ｎ＝２

　　(3)ｍ＝３，２ｎ＝４

は実数係数２次形式の和で表されるが，これ以外のものについては表されないものが存在するという結論である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ラグランジュの恒等式

　(2)は任意の２次形式は２次形式であるという当たり前のことをいっているに過ぎないと思われるかもしれないが，この節ではｍは任意，２ｎ＝４の具体的な例として「ラグランジュの恒等式」を挙げてみたい．

　　Ｆ＝（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）−（ａ1ｂ1＋ａ2ｂ2＋・・・＋ａnｂn）^2

　　　＝（ａ1ｂ2−ａ2ｂ1）^2＋（ａ1ｂ3−ａ3ｂ1）^2＋・・・＋（ａ1ｂn−ａnｂ1）^2

　　　＋（ａ2ｂ3−ａ3ｂ2）^2＋・・・＋（ａ2ｂn−ａnｂ2）^2

　　　＋・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　＋（ａn-1ｂn−ａnｂn-1）^2

>すなわち

　　（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝1/2Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2

<P />　　（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2

右辺はｎ^2個あるいはｎ（ｎ−１）／２個の多項式の平方の和である．

　コーシー・シュワルツの不等式

　　（Σａi^2）（Σｂi^2）≧（Σａiｂi）^2

<P />はラグランジュの恒等式から自明であろう．この有名な不等式は角の余弦値は１以下であることの幾何学的表現と解釈することができる．したがって，等号はベクトルが（同じ向きか反対向きで）平行であるとき，すなわち

　　ａ1／ｂ1＝ａ2／ｂ2＝・・・＝ａn／ｂn

のときに限られる．

　なお，各々の和に対応する平均値に置き換えてもコーシー・シュワルツの不等式は成り立つ．

　　（1/nΣａi^2）（1/nΣｂi^2）≧（1/nΣａiｂi）^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝