Ｆ＝ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6

＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）／２・｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）／２・｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ）^2＋３（ｕｖｗ）^2

より

　　Ｆ＝ΣＰi^2

の形となる．

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　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ</P>

は因数分解不可能である．

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2</P>

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

を並べて書くと，両者とも右辺には多項式Ｐkを重みとする平方の和の形

　　ΣＰk（ａi−ａj）^2</P>

が現れていることに気づかされるだろう．前者ではＰk＝１，後者ではＰk＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２となっているというわけである．それではせめて多項式の平方の和の形に表せないだろうか？

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　ヒルベルトの定理は多項式の平方の和となることを保証してくれる．たとえば，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝（ａ^2−ｂ^2）^2＋（ｃ^2−ｄ^2）^2＋２（ａｂ−ｃｄ）^2

は３個の多項式の平方の和である．

　フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式を用いると

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ｄ）^2

　　Ｐ1＝（２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＋（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＋２ｃｄ）／６

　　Ｐ2＝（２（ａ^2＋ａｃ＋ｃ^2）＋（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＋２ｂｄ）／６

　　Ｐ3＝（２（ａ^2＋ａｄ＋ｄ^2）＋（ａ＋ｄ）（ｂ＋ｃ）＋２ｂｃ）／６

　　Ｐ4＝（２（ｂ^2＋ｂｃ＋ｂ^2）＋（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｄ）＋２ａｄ）／６

　　Ｐ5＝（２（ｂ^2＋ｂｄ＋ｄ^2）＋（ｂ＋ｄ）（ａ＋ｃ）＋２ａｃ）／６

　　Ｐ6＝（２（ｃ^2＋ｃｄ＋ｄ^2）＋（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ）＋２ａｂ）／６

で与えられるから，この表し方は１通りではないことがわかる．

　ともあれ，フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により，算術平均と幾何平均の不等式

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4≧４ａｂｃｄ

が証明されるのである．

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