■19四乗数定理(その24)

 1859年,リューヴィルはg(4)≦53を示しました.g(4)=19ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが,g(4)の限界を与える方法を初めて示したことになります.

[Q]g(4)≦53であることを示せ.

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[A]6(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

=(a+b)^4+(a−b)^4+(c+d)^4+(c−d)^4

+(a+c)^4+(a−c)^4+(b+d)^4+(b−d)^4

+(a+d)^4+(a−d)^4+(b+c)^4+(b−c)^4

任意の整数mはa^2+b^2+c^2+d^2の形に表されるから,6m^2は12個の4乗数の和として表すことができる.

任意の整数はn=6q+r,0≦r≦5という形に表される.

6qは48個の4乗数の和として表すことができる.

rはr=5のとき,5=1^4+1^4+1^4+1^4+1^4であるから,g(4)≦53

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