２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，ｎ＝２^a３^b５^c・・・ｐ^tが２つの平方数の和で表されるための必要十分条件はすべての４ｋ＋３型素数の指数が偶数であることである．

（２は２つの平方数の和である．２＝１＋１）

奇数の指数をもつ４ｋ＋３型素数がひとつでもあれば，ｎは２つの平方数の和ではない．

　なお，

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2

　　ｘ＝ａｃ−ｂｄ，ｙ＝ａｄ＋ｂｃ

　　ｘ＝ａｃ＋ｂｄ，ｙ＝ａｄ−ｂｃ

　　９７＝４^2＋９^2，１０１＝１^2＋１０^2

　　ａ＝４，ｂ＝９，ｃ＝１，ｄ＝１０

ａｃ−ｂｄ＝−８６，ａｄ＋ｂｃ＝４９

ａｃ＋ｂｄ＝９４，ａｄ−ｂｃ＝３１

　９７・１０１＝９７９７＝８６^2＋４９^2＝９４^2＋３１^2

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