【１】４平方和定理（ラグランジュの定理）

　「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」

すなわち「ｎ＝□＋□＋□＋□」

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破しました（オイラー・ラグランジュの定理）．

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【２】ウェアリングの問題

　１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」ことを証明抜きで主張しました．

　ｇ（ｋ）＝Ｎは，すべての正の整数がＮ個の非負のｋ乗ベキの和であるという性質を満たす最小の整数Ｎを表す．４平方和定理（ラグランジュの定理）はｇ（２）＝４は３個の整数の和で表せない整数が存在することを意味している．

　ウェアリングの主張は

　　ｇ（３）≦９，ｇ（４）≦１９

というものである．この問題は多くの数学的思考を刺激し，１９０９年に至ってヒルベルトによって，どの数もいくつかのｎ乗数の和で表されることが証明されています．・・・ｇ（ｋ）は有限である．

　以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きますが，この最良値を完全に決めることはまだできていませんが，下限について

　ｑ＝［３^k／２^k］とおくと，

　　ｇ（ｋ）≧２^k＋ｑ−２

は証明されています（ヨハン・アルブレヒト・オイラー）．

　　ｇ（ｋ）＝２^k＋ｑ−２

と予想されています．

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