■19四乗数定理(その9)

 どの整数も4つの平方数の和で表される(ラグランジュの定理).この性質は以前から知られたものであったが,証明は1772年のラグランジュまで待たなければならなかった.

 ウェアリングの問題とは,この問題を一般化して,各nに対し,どの数もg(n)個のn乗数の和で表されるようなg(n)を求めよという問題をウェアリングが提出したことによる.

 ヒルベルトはどんなnに対してもg(n)は必ず存在することを証明したが,g(n)の値を完全に決めることはできなかった.

  g(k)≧2^k+[(3/2)^k]−2

  k  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

  下界 1  4  9  19  37  73 143 279 548 1079

 ウェアリングの問題はどのような道筋を経て解決されたのであろうか?

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[1]9三乗数和定理

 どの整数も9つの立方数の和で表される.とはいえ,9個の3乗を必要とする数は,たった2つの場合だけが知られています.

  23=2・2^3+7・1^3

 239=2・4^3+4・3^3+3・1^3

 それ以外の数はすべて8個でうまくいく.リニックはもう少し例外を降らして立方数の数を7にまで減らした.実際,十分大きな整数は,高々7つの立方数の和となる.

 ダヴェンポートはほとんどすべての整数がたった4つの立方数の和となることを証明した.4個より多くの立方数は必要な数として,知られている最大の数は7373170279850で,これより大きい数は存在しないと予想されている.証明されてはいないが,有限個の例外を認めた場合の立方数の数は4だと考えられているのである.

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[2]19四乗数和定理

 十分大きな整数は高々16個の4乗数の和で表される.整数を表すときに必要となる4乗数の個数は19以上35以下であるがわかっていた.後に19個で確定した.

 19個の4乗を必要とする数は,

  79=4・2^4+15・1^3

など,たった7つの数だけが19個の4乗数を必要とする.559はそれらの中で最大のものである.

  559=4^4+4^4+2^4+2^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4

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 g乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから,以下,37個の5乗数の和,73個の6乗数の和,・・・と続きます.

[3]37五乗数和定理

 どの整数も高々37個の5乗数の和で表される.後に37個で確定した.

[4]73六乗数和定理

 どの整数も高々73個の6乗数の和で表される.後に73個で確定した.

[5]七乗数和定理

 十分大きな整数は高々137個の7乗数の和で表される.

[6]八乗数和定理

 十分大きな整数は高々163個の8乗数の和で表される.

 4367は8乗数の和で表すとき,すくなくとも273個必要となる最小の数.

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