どの整数も４つの平方数の和で表される（ラグランジュの定理）．この性質は以前から知られたものであったが，証明は１７７２年のラグランジュまで待たなければならなかった．

　ウェアリングの問題とは，この問題を一般化して，各ｎに対し，どの数もｇ（ｎ）個のｎ乗数の和で表されるようなｇ（ｎ）を求めよという問題をウェアリングが提出したことによる．

　ヒルベルトはどんなｎに対してもｇ（ｎ）は必ず存在することを証明したが，ｇ（ｎ）の値を完全に決めることはできなかった．

　　ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２

　　ｋ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

　　下界　１　　４　　９　　19　　37　　73 143 279 548 1079

　ウェアリングの問題はどのような道筋を経て解決されたのであろうか？

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［１］９三乗数和定理

　どの整数も９つの立方数の和で表される．とはいえ，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

　それ以外の数はすべて８個でうまくいく．リニックはもう少し例外を降らして立方数の数を７にまで減らした．実際，十分大きな整数は，高々７つの立方数の和となる．

　ダヴェンポートはほとんどすべての整数がたった４つの立方数の和となることを証明した．４個より多くの立方数は必要な数として，知られている最大の数は７３７３１７０２７９８５０で，これより大きい数は存在しないと予想されている．証明されてはいないが，有限個の例外を認めた場合の立方数の数は４だと考えられているのである．

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［２］１９四乗数和定理

　十分大きな整数は高々１６個の４乗数の和で表される．整数を表すときに必要となる４乗数の個数は１９以上３５以下であるがわかっていた．後に１９個で確定した．

　１９個の４乗を必要とする数は，

　　７９＝４・２^4＋１５・１^3

など，たった７つの数だけが１９個の４乗数を必要とする．５５９はそれらの中で最大のものである．

　　５５９＝４^4＋４^4＋２^4＋２^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4

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　ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．

［３］３７五乗数和定理

　どの整数も高々３７個の５乗数の和で表される．後に３７個で確定した．

［４］７３六乗数和定理

　どの整数も高々７３個の６乗数の和で表される．後に７３個で確定した．

［５］七乗数和定理

　十分大きな整数は高々１３７個の７乗数の和で表される．

［６］八乗数和定理

　十分大きな整数は高々１６３個の８乗数の和で表される．

　４３６７は８乗数の和で表すとき，すくなくとも２７３個必要となる最小の数．

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