［２］ウィリアムズの１４面体（１９６８年）

　ｆ＝１４の単一多面体による空間分割を考えると，まず，切頂八面体とその変形，すなわち８個の六角形と６個の四角形の面をもつものがあげられる（４^6６^8）．これは１８８７年にケルビンが石鹸の泡による空間分割の力学的研究から誘導したものである．然るに，ケルビンの１４面体はまったく５角形の面をもたず，理論と実際の間に大きな乖離があることになる．

　ケルビンの１４面体（α１４面体）は長い間空間を隙間なく分割しうる単一の多面体で，空間分割の局所条件を満足する唯一のものであると信じられてきた．面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することである．ところが，曲面の存在を許せば空間分割の局所条件を満たしながら空間を隙間なく充填しうる１４面体がもう１種類あることを１９６８年になってウィリアムズが報告している．この間，実に１世紀近い年月の隔たりがある．

　この１４面体（β１４面体）は８個の五角形，４個の六角形，２個の四角形の面をもつ（４^2５^8６^4）．β１４面体はα１４面体の２つの［４，６，６］型頂点を連結した屋根状部分を９０°回転させて［５，５，５］型頂点に組み替えたものと考えることができる．幾何学的性質の単純さはα１４面体に劣るが，α１４面体はまったく５角形の面をもたないから，β１４面体のほうが空間分割のある側面をよく表していると考えることができるだろう．

　また，α型でもβ型でも空間分割の局所条件を満足し，位相幾何学的な面の数は１４になる．この結論は重要である．空間分割の局所条件を満足させる多面体は１４面体であり，それ以外にこの条件を満足する単一多面体は存在しないことを明確に示すからである．たとえば，１２面体だけで空間分割の局所条件を満足させながら空間を隙間なく分割することは不可能なのである．

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