【２】２次不等式による証明

　２次不等式

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

において，

(1)ｑ＝ｒ＝３とおくと

　　ｐ＜（１３＋√３１３）／６＝５．１１５３

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，３，３｝，｛４，３，３｝，｛５，３，３｝

(2)ｑ＝３，ｒ＝４とおくと

　　ｐ＜４

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，３，４｝．なお，｛４，３，４｝は３次元立方格子になる．

(3)ｑ＝４，ｒ＝３とおくと

　　ｐ＜（７＋√１９３）／６＝３．４８・・・

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，４，３｝．

(4)ｑ＝３，ｒ＝５とおくと

　　ｐ＜（９＋√４８１）／１０＝３．０９・・・

より，｛ｐ，ｑ，ｒ｝＝｛３，３，３｝．

(5)ｑ＝５，ｒ＝３とおくと

　　ｐ＜（１＋√１４５）／６＝２．１７・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【補】３次元・４次元・５次元の図形で２辺角・２面角・２体角の和が２πとなってフラットになったとき，２次元・３次元・４次元の無限充填図形となる．

　４次元空間において正多胞体｛ａ，ｂ，ｃ｝が胞を共有しあいながら各面の周りにｄ個ずつ集まる４次元空間充填図形を｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝と書くことにすると，これには４次元立方格子｛４，３，３，４｝，正１６胞体格子｛３，３，４，３｝，正２４胞体格子｛３，４，３，３｝の３種類がある．

　３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩である．

　また，２種類以上の正多胞体の組み合わせで各辺の周りに一定の状態で集まる空間充填としては，３次元空間内において正４面体と正８面体が交互に集まるものがあるが，この４次元版は正１６胞体単独による空間充填｛３，３，４，３｝となってしまう．４次元以上の空間で２種類以上の正多胞体の組み合わせによる空間充填図形は存在しないことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝