【３】１つの泡に接する泡の数（その２）

　ここでは，別の方法でもっと簡単に１つの泡に接する泡の数を計算してみます．２つの泡がくっついたとき，その境界も球面になり，この３つの球面の接合角度は１２０°となります．また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

　１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，ここで泡が内角１０９．４７１°の正多角形からなる正多面体とみなせば，面は

　ｐ＝３６０／１０９．４７１＝５．１０４

角形となります．

　また，３ｖ＝ｐｆ，２ｅ＝ｐｆを，オイラーの多面体定理に代入すると

　　ｐｆ／３−ｐｆ／２＋ｆ＝２

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

　　ｆ＝１３．３９，ｖ＝２２．７８，ｅ＝３４．１８

すなわち，泡の平均の姿は２２．７８個の頂点，３４．１８本の辺，１３．３９枚の面からなる面が５．１０４角形の立体となることがわかります．平均的な泡細胞は正１２面体にやや似たものになるというわけです．

　（その１）でもｆ＝１２／（６−ｐ）にｐ＝５．１０４を代入することによってｆ＝１３．３９が得られましたが，（その１）で行った計算

　　ｓｉｎ（π／ｐ）＝√（１／３）

はπ／ｐが正四面体の２面角の半分に等しいことを意味しているので，（その２）の結果とよく符合するのは当然のことです．

　実験的研究から多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことが知られていますが，理論的にもかなりよく符合する結果が得られ，実験で得られた値を裏付ける１つの根拠を与えてくれるのです．

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