【２】オイラーの多面体定理

　凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．

　量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，オイラーの多面体定理を利用すると，

　　１）どの面も同数の辺で囲まれている．

　　２）どの頂点にも同数の辺が集まっている．

という仮定をするだけで，正多角形であるという仮定をまったくせずとも正多面体は５種類しかないことを証明可能になります．

　また，オイラーの多面体定理で示される制限から，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことなどが導き出されます．

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【３】石鹸の泡のトポロジー

　オイラーの定理が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．

　ここで，次数とは頂点に結合する辺の個数のことで，ｄｅｇで表すことにすると，

　　２ｅ＝Σｄｅｇ（握手定理）

が成り立ちます．石鹸の泡の場合は

　　２ｅ＝３ｖ　　　　　（握手定理）

　また，平面図形（地図）は１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となります．

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝１

しかし，外部領域を含めるならば，多面体の場合と同様に

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

が成り立つのです．

　オイラーの定理と握手定理を応用すると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝１　　　（オイラーの定理）

　　２ｅ＝３ｖ　　　　　（握手定理）

したがって，コラム「オイラーの多面体定理をめぐって」の場合と同様の議論

　　ｐ~＝２ｅ／ｆ＝６−６／ｆ→６　　（ｆ→∞）

でもって，平均的な泡細胞の形は６角形を中心とした分布をなし，６辺以上の泡細胞を６辺以下の泡細胞と相殺させる必要性から６から遠ざかることはほとんどないに違いないということになります．

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［Ｑ］３次元では泡細胞は１４面体を中心とした分布をなし（面数の平均は＜１４），すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である．

［Ａ］３次元の空間が多面体により分割されるとき，３個の多面体の面が合して１本の稜線を形成し（内容的には同じことであるが）４本の稜線が１点に集まる．集合体から１個の多面体を分離して考えてみると，分割多面体の幾何学的性格で最も重要なものは，多面体のいずれの頂点にも３本の稜が集まるということである．そしてこのような多面体で空間を充填すれば，１個の頂点は４個の多面体によって共有され，そこには必ず４本の稜が集まる形になる．

　各分割多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖi，ｅi，ｆiとする．

　　ｖi−ｅi＋ｆi＝２

分割多面体では１個の頂点に３本の辺が集まり，また１本の辺は２個の頂点を結ぶことから，

　　２ｅi＝３ｖi

また，集合多面体の頂点，辺，面，胞の数をそれぞれＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃとすると

　　Σ（ｖi−ｅi＋ｆi）＝２Ｃ

　空間分割の面の数などは一義的には決まらず，統計的にしか扱えないので，各多面体の平均頂点数，辺数，面数ｖ1，ｅ1，ｆ1とおくと

　　ｖ1Ｃ＝Σｖi，ｅ1Ｃ＝Σｅi，ｆ1Ｃ＝Σｆi

　ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ

ｆ1≒１４が証明したい事柄である．なお，Ｖ≠Σｖi，Ｅ≠Σｅi，Ｆ≠Σｆiであることを注意しておく．

　平均的多面体の各面をｐ角形，各頂点にｑ面が会するとし，各辺にｒ個の多面体（ｐ，ｑ）が集まるものとする．境界多面体（ｐ，ｑ）の平均的な頂点数，辺数，面数は（ｖ1，ｅ1，ｆ1）となる．また，頂点に集まる辺の中点を結んでできる多面体はｑ角形が１つの辺にｒ面会した多面体（ｑ，ｒ）になっていて，その図形は（ｖ2，ｅ2，ｆ2）で表されるものとする．

　３次元の握手定理は多彩になって

　　ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝ｆ2Ｖ，ｖ2Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝ｒＥ＝ｐＦ＝ｅ2Ｖ

であるが，仮定により

　　ｑ＝ｒ＝３，ｖ2＝４，ｅ2＝６，ｆ2＝４

であるから

　　ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝４Ｖ，４Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝３Ｅ＝ｐＦ＝６Ｖ

　これを

　　ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ

に代入すると

　　（２−ｐ／３）Ｆ＝２Ｃ

　　ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）

　　ｖ1＝４Ｖ／Ｃ＝４／（ｐ／６−１）

　　ｅ1＝６Ｖ／Ｃ＝６／（ｐ／６−１）

　ここで位相幾何学的証明でなく，計量的証明が必要になるのであるが，３次元空間充填であるためには，等式

　　ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）

が成り立たなくてはならない．ｑ＝ｒ＝３を代入すると

　　ｓｉｎ（π／ｐ）＝ｃｏｔ（π／３）＝√（１／３）

　　ｐ＝５．１０４４・・・

　　ｆ1＝１３．３９８・・・＜１４

　　ｖ1＝２２．７９６・・・

となる．

　なお，

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝０

を用いても，

　　ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）

を導き出すことは可能である．厳密にいうと

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１

であるが，何千という小さな泡の集合体を想定して，非常に多くの多面体を統計的に扱うので右辺は０としてかまわない．しかし，Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１を用いればもっとｆ1≒１４に近づくであろう．

　実験的研究から多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことが知られているが，理論的にもかなりよく符合する結果が得られ実験で得られた値を裏付ける１つの根拠を与えてくれるのである．

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