半音１２で１オクターブとなる１２音階が標準的なのですが，そもそも１２音階となることに必然性はあるのでしょうか？

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【１】メルカトールの５３音階平均律

　２：１のオクターブの代わりに，周波数比３：１を（１２ではなく）１３等分割する新しい音階も提唱されています．

　この音階では５と７の１３乗が３の整数乗に非常に近いところから由来していて，整数比５：３，７：５，９：７から３^(k/13)をすばらしく近似した音階を構成することができます．

　　５^13　〜　３^19，　７^13　〜　３^23

　また，ピタゴラスの完全５度は３／２倍の周波数になっているのですが，２のベキおよび３のベキが僅差になる例として，Ｅｂに対するＤ＃の比

　　３^12／２^19〜１＋１／７３

があげられます．

　ｌｏｇ2３の連分数展開

　　１９／１２，６５／４１，８４／５３，・・・

であることから，オクターブが都合よく１２音階平均律，４１音階平均律，５３音階平均律に分割されることが示されます．５３音階平均律系はメルカトールによるものです．

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【２】ｘｘ音階平均律

　２音階から６０音階までの平均律で，１２音階より１．５に近い音は登場するのは

　　２９音階の１７音目：１．５０１２９

　　４１音階の２１音目：１．５００４２

　　５３音階の３１音目：１．４９９９４

　　５８音階の３４音目：１．５０１２９

　とくに５３音階には１．５に近い音があり，１７世紀の数学者メルカトールが関心を示したといわれている．

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