【１】ピタゴラスとドレミ

　ピタゴラスは弦の長さを半分にして弾いたとき，１オクターブ高い音がでることを突き止めました．そして，１オクターブの間を振動数が整数比（に近い比）になるように分割していって，ドレミファソラシドという音階の基礎を築いたといわれています．

　弦の長さを１／２にすれば２倍の周波数，１／３だけ短くすると３／２倍の周波数（５度），１／４だけ短くすると４／３倍の周波数（４度），１／５だけ短くすると５／４倍の周波数（３度）が得られます．

　たとえば，いくつの５度音程によってオクターブの整数倍が得られるかというと

　　（３／２）^x＝２^y　→　３^x＝２^(y-x)

この整数解はありませんが，３^5＝２４３　〜　２^8＝２５６より，ｘ＝５，ｙ＝３の近似解が存在します．すなわち，５度音程５つで３オクターブになるというわけです．また，３^5〜２^8の次に一番良い近似が３^12〜２^19で，１２の５度音程で７オクターブになります．

　同様に

　　（４／３）^5〜２^2

　　（５／４）^3＝２

４度音程５つで２オクターブ，３度音程５つで１オクターブになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】ピアスの１３平均律

　２：１のオクターブの代わりに，周波数比３：１を（１２ではなく）１３等分割する新しい音階も提唱されています．

　この音階では５と７の１３乗が３の整数乗に非常に近いところから由来していて，整数比５：３，７：５，９：７から３^(k/13)をすばらしく近似した音階を構成することができます．

　　５^13　〜　３^19，　７^13　〜　３^23

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝