■2^n/3(その8)

 フィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,13,・・・

を0からあるいは負の数から出発する場合に拡張してみます.

  ・・・,5.−3,2,−1,1,0,1,1,2,3,5,8,13,・・・

  φ^2=φ+1

  φ^3=φ^2φ=φ^2+φ=2φ+1

  φ^4=φ^3φ=2φ^2+φ=3φ+2

  φ^5=φ^4φ=3φ^2+2φ=5φ+3

  φ^6=8φ+5

  φ^7=13φ+8

  φ^8=21φ+13

  φ^9=34φ+21

  φ^10=55φ+34

  φ^11=89φ+55

  1/φ=φ−1

  1/φ^2=1−1/φ=−φ+2

  1/φ^3=−1+2/φ=2φ−3

  1/φ^4=2−3/φ=−3φ+5

  1/φ^5=−3+5/φ=5φ−8

  1/φ^6=−8φ+13

  1/φ^7=13φ−21

  1/φ^8=−21φ+34

  1/φ^9=34φ−55

  1/φ^10=−55φ+89

  1/φ^11=89φ−144

 これらを利用して,m=5の場合を検算してみたい.

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(n,0)+(n,5)+(n,10)+・・・=(2^n+φ^n・2cosnπ/5+φ^-n・2cos2nπ/5)/5

n=10とする.

(10,0)+(10,5)+(10,10)=1+252+1=254

(2^10+φ^10・2cos10π/5+φ^-10・2cos20π/5)/5=(1024+2φ^10+2φ^-10)/5=(1024+68+178)/5=254

(10,1)+(10,6)=10+210=220

(2^10+φ^10・2cos8π/5+φ^-10・2cos16π/5)/5=(1024+φ^9−φ^-9)/5=(1024+21+55)/5=220

(10,2)+(10,7)=45+120=165

(2^10+φ^10・2cos6π/5+φ^-10・2cos12π/5)/5=(1024−φ^11+φ^-11)/5=(1024−55−144)/5=165

(10,3)+(10,8)=120+45=165

(2^10+φ^10・2cos4π/5+φ^-10・2cos8π/5)/5=(1024−φ^11+φ^-11)/5=165

(10,4)+(10,9)=210+10=220

(2^10+φ^10・2cos2π/5+φ^-10・2cos4π/5)/5=(1024+φ^9−φ^-9)/5=220

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