■2^n/3(その5)

【1】パスカルの三角形の恒等式

                     sum  mod3

        1   1          2    2

      1   2   1        4    1

    1   3   3   1      8    2

  1   4   6   4   1   16    1

 パスカルの三角形では,以下の有名な恒等式が知られている.

  (n,0)+(n,1)+・・・+(n,n−1)+(n,n)=2^n

  (n,0)−(n,1)+・・・+(−1)^n(n,n)=0

  (n,0)^2+(n,1)^2+・・・+(n,n−1)^2+(n,n)^2=(2n,n)

  (n,0)+2(n,1)+・・・+2^n-1(n,n−1)+2^n(n,n)=3^n-1

  (n,0)+2(n,1)+・・・+(n−1)(n,n−1)+n(n,n)=n・2^n-1

 しかし,

  (n,0)+(n,1)+・・・+(n,k)=[2^n/3]

となるような整数kをうまく定めることはできそうにない.

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【2】パスカルの三角形の恒等式(その2)

  Un=Σ(n,3r)  r=0〜[n/r]

を計算してみる.

  U1=(1,0)=1

  U2=(2,0)=1

  U3=(3,0)+(3,3)=2

  U4=(4,0)+(4,3)=5

  U5=(5,0)+(5,3)=11

  U6=(6,0)+(6,3)+(6,6)=22

 周期性は見えてこないが,1の原始3乗根

  ω=cos(2π/3)+isin(2π/3)

  (1+1)^n=(n,0)+(n,1)+(n,2)+・・・

  (1+ω)^n=(n,0)+(n,1)ω+(n,2)ω^2+・・・

  (1+ω^2)^n=(n,0)+(n,1)ω^2+(n,2)ω^4+・・・

を加えて(n,r)の係数を調べると

=0   (r=3k+1のとき)

=0   (r=3k+2のとき)

=3   (r=3kのとき)

より,

右辺の和=3((n,0)+(n,3)+(n,6)+・・・)=3Un

左辺の和=(1+1)^n+(1+ω)^n+(1+ω^2)^n=2^n+2cos(nπ/3)

 したがって,

  Un=(2^n+2cos(nπ/3))/3

が得られる.

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