１９世紀の後半，デデキントとクラインは独立に重さ０の保型関数

　　ｊ（ａｚ＋ｂ／ｃｚ＋ｄ）＝ｊ（ｚ）

を構成しました．ｊ（ｚ）は最も簡単でよく知られているＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数で，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，

　　j(z)=E4(z)^3/Δ(z)

　　　　＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・

と展開されます．ｊ（ｚ）は楕円モジュラー関数またはｊ関数と称されています．

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【５】ヴォルファルトの発見

　ω1，ω2を１次独立な基底とする格子を考えます．その商τ＝ω1／ω2を基本領域Γに属するようにとると，ある楕円曲線が構成され，判別式Δは重さ１２のモジュラー形式となります．また，ｊ（τ）は上半平面におけるΓ不変な重さ０のモジュラー関数となります．

　虚２次体の虚数乗法の理論から，あるτに対する楕円モジュラー関数の値ｊ（ｚ）は代数的であることが知られています．逆にいうと，虚２次でない任意の代数的数に対しｊ（ｚ）は超越数になるというのです．

　そして，ヴォルファルトは

(1)Ｑ（ｉ）に属するあるτに対して，ｚ＝１−１／ｊ（τ），2F1(1/12,5/12;1/2;z)が代数的点となるτが存在する

(2)Ｑ（√−３）に属するあるτに対して，ｚ＝ｊ（τ）／（ｊ（τ）−１），2F1(1/12,5/12;1/2;z)が代数的点となるτが存在する

ことを示し，実際の代数的点

　　2F1(1/12,5/12;1/2;1323/1331)=3/4･4√11

　　2F1(1/12,7/12;2/3;64000/64009)=2/3･6√253

を求めています（１９８５年）．

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１−１／ｊ（τ）＝1323/1331

8/1331＝1/ｊ（τ）、ｊ（τ）=1331/8

(1)Ｑ（ｉ）に属するあるτに対して，有理数になってしまうのである。

ｊ（τ）／（ｊ（τ）−１）＝1323/1331

ｊ（τ）=1323/1331（ｊ（τ）−１）

8/1331=-1323/1331ｊ（τ）

ｊ（τ）=-8/1323

(2)Ｑ（√−３）に属するあるτに対して，，有理数になってしまうのである。

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j(i)=1728=12^3

j(i√2)=8000=20^3

j((1+i√3)/2=0

j((1+i√7)/2=-3375=-15^3

j((1+i√11)/2=-32^3

j((1+i√19)/2=-96^3

j((1+i√43)/2)=-960^3

j((1+i√67)/2)=-5280^3

j((1+i√163)/2)=-640320^3

j(i)=1728,j(ω)=0のようにきわめて超越的な関数が、整数になってしまうのである。

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