■j(z)関数の特殊値(その6)

j(i)=1728

j(i√2)=8000

j((-1+i√3)/2=0

j((-1+i√7)/2=-3375

j((1+i√163)/2)=-640320^3

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 −d=43,67,163

はとても面白い性質をもっています.

  x=exp(π√d)

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです.

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  exp(π√43)=884736743.999777・・・

  exp(π√67)=147197952743.99999866・・・

  exp(π√163)=262537412640768743.99999999999925007・・・

 これは決して偶然の一致ではありません.xに対しては

  x−744+196884/x−21493760/x^2+・・・

がぴったり整数になることがわかっています.これらの係数は重さ0のモジュラー関数においてq→−1/xとしたものです.

 xが大きいほど後半の項は小さな値となるので,x自身は極めて整数(実は立方数)に近い数になるというわけです.

  exp(π√43)=960^3+744−ε

  exp(π√67)=5280^3+744−ε

  exp(π√163)=640320^3+744−ε

 exp(π√163)は,1965年のエイプリル・フールのジョークとして,マーチン・ガードナーは整数だと主張し,さらに,冗談で1914年のラマヌジャンの論文に書かれてあるとしました.それ以降,exp(π√163)はラマヌジャン定数という名前で呼べれるようになったとのことです.

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  exp(π√163)=640320^3+744−ε

  ε=7.5×10^-13

  {log(640320)^3+744)/π}^2=163+2.32×10^-33

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j(i)=1728=12^3

j(i√2)=8000=20^3

j((-1+i√3)/2=0

j((-1+i√7)/2=-3375=-15^3

j((1+i√163)/2)=-640320^3

j((1+i√43)/2)=-960^3

j((1+i√67)/2)=-5280^3

11,19が残っているが・・・

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