【１】３次曲線のｊ-不変量

　３次曲線：ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

のｊ-不変量は

　　ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

によって定義されます．λ＝−１のときｊ＝１７２８，λ＝−ζ6（１の６乗根）のときｊ＝０となります．

　ｊｰ不変量はモジュラー不変量とも呼ばれ，

　　ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

　＝ｊ（１−１／λ）＝ｊ（１／（１−λ））＝ｊ（λ／（１−λ））

ですから，４個の点｛０，１，λ，∞｝の入れ替えに依存しないinvariantで，最も単純で重要な保型関数と考えられます．なお，

　　ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

が成り立てば，あとの等式はこの２つから導かれますから，有理関数

　　（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

が本質的であって，係数２^8には本質的な意味はありません．

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【２】楕円曲線のｊ-不変量

　ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄという方程式で定まる曲線はおなじみの３次曲線ですが，ｙのところがｙ^2に変わるとワイエルシュトラスの楕円曲線：

　　ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

になります．ただし，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数で，右辺の３次式は重根をもたないものと仮定します．楕円曲線をワイエルシュトラス形式に制限しても一般

性を失いません．実際，どのような楕円曲線もワイエルシュトラス形式の楕円曲線に双有理的に同値だからです．

　また，ｘ^2の項の係数はｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａと変数変換（カルダノ変換）することによって簡単に消すことができますから，

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）

を楕円曲線と定義しても構いません．４ａ^3＋２７ｂ^2≠０は重根をもたないための条件です（判別式：Δ＝−（４ａ^3＋２７ｂ^2））．

　ワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０）

のｊ-不変量を計算すると，

　　ｊ＝２^8・３^3ｂ^2／（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2）

となります．ｊｰ不変量は，２つの楕円曲線が同じｊｰ不変量をもつかどうかなど，３次曲線を分類する（見分ける）ための指標になっているのです．

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y^2=x^3+1のｊ-不変量は1

y^2=x^3+xのｊ-不変量は1728

任意の複素数ｊに対して、j(E)=Jとなる楕円曲線が存在する。

t=-27t/4(j-1728)とおくと

y^2=x^3+tx+tは楕円曲線で、そのｊ-不変量はjとなる。

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　ｙ^2＝４ｘ^3-６０ｇ4ｘ -１４０ｇ6は楕円曲線である。

そのｊ関数はｊ不変量を計算することで

　ｊ(z)＝1728・4(15g4)^3/{4(15g4)^3-27(35g6)^2}

この関数はフーリエ展開を持ち、そのq展開は

j(z)=q^-1+744+19684q+21493760q^2+・・・,q=exp(2πiz)

不思議なことに整数係数になるのである

なお、j(i)=1728,j(ω)=0のようにきわめて超越的な関数が、整数になってしまうのである。

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ヒーグナー・スタークの定理

j(2i)=8000,j((-1+√7i)/2)=-3375

j((-1+√163i)/2)=-(640320)^3

αd=√di (d=1,2 mod 4)

αd=(1+√di)/2 (d=3 mod 4)

j(αd)が整数となることはm+nαdの世界での素因数分解の一意性が成り立つことと同値である。

d={1,2,3,7,11,19,43,67,163}

j(5i)=632000+282880√5

d=5のとき、6=2・3-(1+√5i)(1-√5i)という２通りの分解がある

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