ｘ^n−１の因数分解が，ｎの約数ｄを使って次のように書かれることを考えます．

　　ｘ−１＝Φ1（ｘ）

　　ｘ^2−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）

　　ｘ^3−１＝Φ1（ｘ）Φ3（ｘ）

　　ｘ^4−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ4（ｘ）

　　ｘ^5−１＝Φ1（ｘ）Φ5（ｘ）

　　ｘ^6−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘ^18−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ18（ｘ）

　　ｘ^36−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ4（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ12（ｘ）Φ18（ｘ）Φ36（ｘ）

　すると，円分多項式は

　　Φ1（ｘ）＝ｘ−１

　　Φ2（ｘ）＝ｘ＋１

　　Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１

　　Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１

　　Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ−１

　　Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１

　　Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１

　　Φ12（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^2＋１

　　Φ15（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^7＋ｘ^5−ｘ^4＋ｘ^3−ｘ＋１

　　Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１

　　Φ18（ｘ）＝ｘ^6−ｘ^3＋１

　　Φ24（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^4＋１

　　Φ36（ｘ）＝ｘ^12−ｘ^6＋１

と定まります．

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【１】円分多項式の解

［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０

　　ｘ＝１

［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０

　　ｘ＝−１

［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０

　　ｘ＝（−１±ｉ√３）／２＝ω，ω^2

［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０

　　ｘ＝±ｉ

［５］Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１＝０

　　ｘ＝（１±ｉ√３）／２

［６］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

　ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^2でわり，

　　ｘ^2＋ｘ＋１＋１／ｘ＋１／ｘ^2＝０　　（相反方程式）

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）

と変数変換すると２次方程式

　　ｙ^2＋ｙ−１＝０

に帰着され，

　　ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）

　　ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４

が得られる．

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